Числовая последовательность. Определение. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x - N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Число a называется пределом последовательности 
, если для любого положительного числа 
можно указать такой номер , что при всех 
выполняется неравенство 
.
Если а есть предел последовательности 
, то пишут 
, или 
( 
- три первые буквы латинского слова limes - «предел»).
Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число а в интервал 
. Число а есть предел последовательности 
, если независимо от малости интервала все члены последовательности с номерами, большими некоторого 
, будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности.
Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
Þ 
.
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f ( x ) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g ( x ), то предел функции f ( x ) в этой точке не превосходит предела функции g ( x ).
Þ 
.
Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.
|
|
|
.
Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при 
, то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
.
Теорема 7. Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют предел при ,
причем 
, то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.
, .
Бесконечно малая величина. Определение. Свойства бесконечно малых.
Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Последовательность 
называется бесконечно малой, если 
. Например, последовательность чисел 
— бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки 
, если 
.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если 
либо 
.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если 
, то 
, 
.
|
|
|
Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении 
к 
(из 
)] делается меньше произвольного числа ( 
). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.
Свойства:
· Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
· Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
· Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
· Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то 
— бесконечно большая последовательность.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 424; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!