Инвариантность (неизменность формы записи) дифференциала первого порядка.
Пусть z = f ( x ; y ) 
.
Все функции предполагаются дифференцируемыми. Рассмотрим дифференциал от такой функции.
= 
.
Раскроем скобки, перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители du и dv.
Имеем: 
= 
Вывод: Форма дифференциала первого порядка не изменяется если функция является сложной. Дифференциалы высших порядков этим свойством не обладают.
Производная неявной функции.
Определение: Функция 
называется неявной, если она задается уравнением 
неразрешимым относительно z.
Начнем рассмотрение с неявной функции одного переменного : F(x,y)=0.
Теорема:
Пусть непрерывная функция y(x) задается неявно уравнением вида F(x,y)=0 и 
, 
, 
- непрерывные функции в области D, содержащей точку (x,y), удовлетворяющую уравнению F(x,y)=0. Кроме того, в этой точке 
, тогда функция y(x) имеет производную 
.
Доказательство:
Пусть некоторому значению x соответствует значение y, причем выполняется F(x,y)=0. Возьмем для независимой переменной x приращение 
. Функция y, при этом, получит приращение 
. То есть значению аргумента 
будет соответствовать значение функции 
. А в силу уравнения F(x,y)=0 имеем: 
и, соответственно 
. Левую, часть, являющуюся полным приращением функции двух переменных можно представить в виде 
, где 
, 
, при 
и 
. Или иначе (поскольку правая часть равенства - ноль): 
. Разделим последнее равенство на и вычислим 
. Устремим к нулю. Тогда учитывая, что , , при и 
в пределе получим 
. Таким образом, доказана теорема существования производной от функции, заданной неявно.
|
|
|
Пример:
.
Решение:
Найдем производную.
, 
.
Следовательно, 
.
Рассмотрим теперь функцию вида . Найдем частные производные функции неявной функции z. Для этого подставив в уравнение вместо z, , получим тождество 
. Частные производные функции тождественно равной нулю также равны нулю.
Откуда: 
, 
.
Аналогично определяются производные неявно заданных функций произвольного числа переменных.
Пример :
Решение :
Так как
Þ 
Найдем частные производные:
; 
; 
.
Следовательно:
; 
.
Пример:
Решение:
Найдем частные производные:
; 
; 
.
Следовательно:
; 
.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Определение: Плоскость, в которой распложены все касательные к линиям на поверхности, проходящим через точку касания M0, называется касательной плоскостью к поверхности в точке M0.
Определение: Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Так как нормаль перпендикулярна касательной плоскости, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор нормали к касательной плоскости (координаты вектора нормали - это частные производные.)
|
|
|
Тогда уравнение нормали имеет вид:
;
То есть если уравнение поверхности задано в виде z=f(x,y), точка M0(x0,y0) и f(x0,y0) принадлежат поверхности, точка M0 – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид: 
.
А в случае поверхности, заданной уравнением вида F(x,y,z)=0, уравнение касательной плоскости имеет вид: 
, где
точка M0(x0,y0,z0) – точка касания.
Каноническое уравнение прямой в пространстве 
Пример: Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке M0(1,2,-1).
Решение:
Преобразуем: 
.
Найдем значения частных производных в заданной точке (это координаты вектора нормали к плоскости):
; 
; 
.
Уравнение плоскости имеет вид:
2(x-1)+4(y-2)-2(z+1)=0.
Или иначе (раскрыв скобки и приведя подобные):
2x+4y-2z-8=0.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 231; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!