Расчет арочной фермы на 1 вариант снеговой нагрузки

Расчет арочной фермы

 

Рисунок 293.1. Общая предварительная схема арочной галереи.

Расчетной нагрузкой для ферм будет снеговая нагрузка, нагрузка от веса поликарбоната, балок обрешетки и собственного веса ферм. Для упрощения расчетов можно рассматривать все эти нагрузки как сосредоточенные в узлах фермы.

В действительности, при использовании сотовых поликарбонатных листов и при расположении балок обрешетки вровень с верхним поясом фермы часть нагрузки будет передаваться не в виде сосредоточенной нагрузки в узлах фермы, а в виде равномерно распределенной нагрузки на стержни верхнего пояса. Однако даже при пролете между фермами, равном пролету между балками обрешетки, нагрузка, передаваемая листами поликарбоната непосредственно на стержни верхнего пояса фермы, будет в 8-10 раз меньше, чем нагрузка, приходящаяся на балки обрешетки, а значит, на узлы фермы. Если пролет между балками обрешетки будет в два раза меньше пролета между фермами, то значение распределенной нагрузки, передаваемой непосредственно на стержни верхнего пояса фермы, уменьшится еще в несколько раз. Таким образом для упрощения расчетов фермы нагрузку на ферму можно рассматривать как несколько сосредоточенных нагрузок, приложенных в узлах фермы. Более того, распределенная нагрузка будет уменьшать значение момента, возникающего в верхних стержнях из-за их непрямолинейности и потому расчет без учета того, что часть нагрузки передается в виде распределенной, будет не только более простым, но и более надежным, так как обеспечит дополнительный запас по прочности. А чтобы сомнений в правильности выбранного пути не оставалось, можно увеличить сечение стержней верхнего пояса на 3-5% в зависимости от соотношения пролетов. И только если настил будет из монолитного поликарбоната, то соотношение нагрузок, передаваемых в узлах фермы и равномерно распределенных по стержням верхнего пояса фермы, следует учитывать при расчете. Однако мы такую ситуацию пока не рассматриваем.

При расстоянии между верхними узлами фермы около 63 см и пролете между фермами 105 см соотношение пролетов составляет 105/63 = 1.67 раза, поэтому наше допущение о передаче нагрузок только в узлах фермы вполне приемлемо. Вот только определить эти самые сосредоточенные нагрузки в узлах фермы будет не так уж и просто. Когда мы рассчитывали сотовый поликарбонат и балки обрешетки, то выяснили, что снеговая нагрузка - одна из главных расчетных нагрузок - является не постоянной и неравномерно распределенной. Это означает, что во-первых ферму необходимо рассчитывать на 2 варианта загружения, а во-вторых, при первом варианте загружения, когда изменение снеговой нагрузки по длине пролета фермы описывается уравнением косинуса, для определения суммирующей сосредоточенной нагрузки потребуется множество вычислительных операций. Точнее все эти вычислительные операции мы должны были сделать раньше, когда рассчитывали сотовый поликарбонат и балки обрешетки, так как опорные реакции для многопролетной балки - листа сотового поликарбоната - это и есть сосредоточенные нагрузки для фермы, передаваемые балками обрешетки в узлы. Тем не менее при расчетах и сотового поликарбоната и балок обрешетки большой необходимости в точных расчетах не было, так как возможное уменьшение расчетных величин, таких как момент сопротивления или деформация прогиба на 2-10% - это конечно хорошо, но все это с лихвой можно перекрыть соответствующим коэффициентом надежности конструкции.

При расчете арочной фермы также можно упростить вычисления, приняв нагрузку равномерно распределенной, однако ферма - это единая конструкция и такой запас может оказаться чрезмерным, поэтому имеет смысл повозиться с расчетом фермы немного больше. Впрочем, значения сосредоточенных нагрузок все равно будут приблизительными.

Расчет арочной фермы на 1 вариант снеговой нагрузки

Для начала определим средние значения коэффициентов μ для каждого пролета верхнего пояса балки (так как ферма симметричная, то достаточно это сделать только для одной половины фермы). Для этого нужно знать значения углов наклона касательных в этих точках. Если верить науке геометрии, то получается, что в середине первого (крайнего) пролета угол наклона будет 47.823^о, во втором - 39.128^о, в третьем - 30.433^о, в четвертом - 21.737^о, в пятом - 13.043^о, в шестом - 4.348^о (угол между узлами верхнего пояса фермы составляет 104.34/12 = 8.695^о). Тогда

для 1 пролета среднее значение μ = cos1.8·47.823 = 0.068, l₁ = 0.6239·cos47.823 = 0.4189 м, Q_1ср = 180·0.068·0.4194 = 5.13 кг

для 2 пролета μ = 0.335, l₂ = 0.484 м, Q_2ср = 29.21 кг

для 3 пролета μ = 0.5767, l₃ = 0.5379 м, Q_3ср = 55.91 кг

для 4 пролета μ = 0.7757, l₄ = 0.5795 м, Q_4ср = 81.03 кг

для 5 пролета μ = 0.9172, l₅ = 0.6078 м, Q_5ср = 100.47 кг

для 6 пролета μ = 0.9906, l₆ = 0.6221 м, Q_6ср = 111.08 кг

При этом, как мы уже говорили, опорные реакции в узлах не будут равны половине сосредоточенной нагрузки, условно приложенной в середине пролета, тем не менее для упрощения решения задачи такое допущение вполне приемлемо. Тогда сосредоточенные нагрузки от снега в узлах фермы составят

Q_s1 = 5.13/2 = 2.565 кг

Q_s2 = 2.565 + 29.21/2 = 17.17 кг

Q_s3 = 14.605 + 55.91/2 = 42.56 кг

Q_s4 = 27.955 + 81.03/2 = 68.47 кг

Q_s5 = 40.515 + 101.47/2 = 91.49 кг

Q_s6 = 50.735 + 111.08/2 = 106.275 кг

Q_s7 = 111.08 кг

Значения распределенных нагрузок от веса сотового поликарбоната и балок обрешетки мы определили ранее, воспользуемся этими значениями. Тогда

Q_п1 = 1.905·1.05/2 = 1 кг

Q_п2 = 1.905·1.05 = 2 кг

Значения сосредоточенной нагрузки от веса поликарбоната в остальных узлах фермы (кроме последнего) будут такими же, как во втором узле.

Q_б1 = 4.22·1.05/2 = 2.22 кг

Q_б2 = 4.22·1.05 = 4.43 кг

Нагрузка от собственного веса фермы нам по умолчанию не известна, но предположим, что ферма будет изготавливаться из квадратной профильной трубы сечением 50х3 мм, тогда с учетом геометрии фермы и особенностей изготовления сосредоточенная нагрузка от собственного веса будет в 2.5-3 раза больше, чем нагрузка от балок обрешетки и составит

Q_ф1 = 2.22·3 = 6.66 кг

Q_ф2 = 4.43·3 = 13.29 кг

Теперь мы можем собрать сосредоточенные нагрузки для всех узлов фермы

Q₁ = 2.57 + 1 + 2.22 + 6.66 = 12.45 кг

Q₂ = 17.17 + 2 + 4.43 + 13.29 = 36.89 кг

Q₃ = 62.28 кг

Q₄ = 88.19 кг

Q₅ = 111.21 кг

Q₆ = 126 кг

Q₇ = 130.8 кг, Q₇/2 = 65.4 кг

А теперь можно уже определить значение опорных реакций для фермы. Так как ферма у нас симметричная и нагрузки приложены симметрично, то опорные реакции будут равны между собой и будут составлять

V_A = V_B = Q₁ +Q₂ + Q₃ + Q₄ + Q₅ + Q₆ +Q₇/2 = 12.45 + 36.89 + 62.28 + 88.19 +111.21 + 126 + 65.4 = 502.42 ≈ 502.4 кгс

Значение горизонтальной составляющей опорной реакции будет равно нулю, так как горизонтальных нагрузок в нашей расчетной схеме нет.

В итоге расчетная схема для нашей фермы будет выглядеть так:

Рисунок 293.2. Расчетная схема арочной фермы.

На рисунке 293.2 б) показаны сечения, благодаря которым можно рассчитать усилия во всех стержнях фермы с учетом того, что ферма и нагрузка на ферму является симметричной и значит достаточно рассчитывать не все стержни фермы, а чуть больше половины. А чтобы не заблудиться в густом лесу стержней, стержни и узлы ферм принято маркировать. Маркировка, показанная на рис.293.2 в) означает, что у фермы есть:

Стержни нижнего пояса: 1-а, 1-в, 1-д, 1-ж, 1-и, 1-л, 1-н;

Стержни верхнего пояса: 3-б, 4-г, 5-е, 6-з, 7-к, 8-м;

Стойка: 2-а;

Раскосы: а-б, б-в, в-г, г-д, д-е, е-ж, ж-з, з-и, и-к, к-л, л-м, м-н.

Если нужно рассчитать все стержни фермы, то лучше составить таблицу, в которую нужно внести все стержни фермы. Затем в эту таблицу будет удобно вносить полученные значения максимальных изгибающих моментов, а также растягивающих или сжимающих напряжений.

Если фермы будут изготавливаться из 1-2 видов профилей металлопроката, то достаточно рассчитать сечения стержней в наиболее нагруженных сечениях фермы. А так как на глаз определить такие максимально загруженные сечения трудно, то произведем расчет для сечений, показанных нар рисунках 293.2 г), д), ж).

сечение II-II (рис. 293.2 ж)

Так как в узлах фермы - шарниры, то и значение изгибающих моментов в узлах фермы равно нулю, а кроме того, исходя из тех же условий статического равновесия сумма всех сил относительно оси х или оси у также равна нулю. Это позволяет составить как минимум три уравнения статического равновесия (два уравнения для сил и одно для моментов), но в принципе уравнений моментов может быть столько же сколько узлов в ферме и даже больше, если использовать точки Риттера. А это такие точки в которых пересекаются две из рассматриваемых сил и при сложной геометрии фермы точки Риттера не всегда совпадают с узлами фермы. Тем не менее в данном случае у нас геометрия не очень сложная и потому для определения усилий в стержнях попробуем обойтись имеющимися узлами фермы. Но при этом опять же из соображений простоты расчета как правило выбираются такие узловые точки, уравнение моментов относительно которых позволяет сразу определить неизвестное усилие, не доводя дело до решения системы из нескольких уравнений.

Выглядит это примерно так. Если составить уравнение моментов относительно узла 2, то в нем будут всего два члена, причем один из них уже известный:

М₂ = -V_Al + N_1-ah = 0;

N_1-ah = V_Al;

где l - плечо действия силы, равное расстоянию от узла 1 до узла 2 по горизонтали, согласно принятой нами расчетной схемы l = 0.25 м; h- плечо действия силы N_1-a , равное кратчайшему расстоянию до линии действия силы N_1-a. Так как рассматриваемый нами стержень 1-а не является прямолинейным, то h будет зависеть от места условного рассечения. Разрешается эта ситуация следующим образом: все стержни рассматриваются как прямолинейные (на рисунке 293.3 показаны зеленым цветом), а изменение геометрии стержней учитывается эксцентриситетом приложения нагрузки (на рис. 293.3 показан красным цветом), при этом максимальный эксцентриситет будет посредине криволинейного стержня. А там, где есть эксцентриситет есть изгибающий момент и его следует учитывать при подборе сечения стержней. Так как пояса фермы описываются уравнением окружности, то определить значение эксцентриситета для всех пролетов не сложно.

Рисунок 293.3. Эксцентриситеты криволинейных стержней арочной фермы.

Так как угол между узлами верхнего пояса фермы составляет 8.695^о, то согласно формулы (278.1.3) величина эксцентриситета для стержней верхнего пояса составит

е = R(1 - cos(α/2)) = 411.5(1 - 0.99712) = 1.184 см. Длина условно прямолинейных стержней верхнего пояса составит

l = 2e/tg(α/4) = 62.39 см

Угол между узлами нижнего пояса составляет 93.71/12 = 7.809^о, е = 0.95512 см, для крайнего стержня 1-а е = 0.23885 см. Длина условно прямолинейных стержней нижнего пояса l = 56.041 см, длина условно прямолинейного крайнего стержня l = 28.036 см.

Далее вычисляются основные геометрические параметры стержней фермы:

Рисунок 293.4. Основные геометрические параметры для стержней арочной фермы сечения II-II.

Данные, показанные на рисунке 293.4 могут показаться слишком точными, тем более, что при изготовлении фермы точность соблюдения углов и длины стержней будет гораздо меньше. Тем не менее, изготовление фермы, это одно, а расчет фермы - совсем другое. Приведенные на рисунке 293.4 значения являются приблизительными, насколько приблизительными - покажет проверка.

Теперь мы можем определить значение силы N_1-a:

N_1-a = V_Al/h = 502.4·0.25/0.3535 = 355.304 кг

Чтобы определить напряжения в стержне N_3-б составляется уравнение моментов относительно узла 3:

М₃ = V_Al - Q₁(0.25 + 0.1986) - N_3-бh = 0;

N_3-б = (502.4·0.1986 - 12.45·0.4486)/0.3675 = 256.3 кг

Усилия в стержне N_а-б можно определить, составив уравнение моментов относительно узла 1:

М₁ =- Q₁·0.25 - N_3-б·0.353 - N_а-бh= 0;

N_а-б = - (12.45·0.25 + 256.3·0.353)/0.2196 = - 426.173 кг

Знак "-" в данном случае означает, что сила будет направлена в сторону, противоположную показанной на рисунке 293.2.ж). Т.е. в стержне будут возникать растягивающие напряжения.

Проверить правильность вычислений мы можем, составив уравнения сил:

ΣQ_y = - Q₁ +V_A - N_1-asin44.9^о - N_3-бsin47.82^о + N_а-бsin6.57^о = 0; -12.45 +502.4 - 250.8 - 189.93 - 48.76 = 0.46 кг

ΣQ_x = - N_а-бcos6.57^о - N_1-aсos44.9^o - N_3-бcos47.82^o = 0; 423.37 - 251.676 - 172.1 = - 0.397 кг

Как видим, небольшая погрешность в наших вычислениях все-таки набежала. Тем не менее эта погрешность составляет менее 0.1% (0.4·100/423.37 = 0.094%), а потому можно считать ее вполне приемлемой. К тому же это еще не самые нагруженные стержни фермы. А самые нагруженные стержни располагаются как правило ближе к середине фермы, поэтому рассмотрим далее

сечение XIII-XIII (рис. 293.2. г)

Тут без геометрии стержней тоже не обойтись, кроме того нужно знать расстояния для сосредоточенных нагрузок:

Составим уравнение моментов относительно узла 14:

М₁₄ = -3.25Q₁ - 2.8313Q₂ - 2.3473Q₃ - 1.8094Q₄ -1.23Q₅ - 0.6221Q₆ + 3V_A + 0.5506N_1-н = 0;

N_1-н = (3.25·12.45 + 2.8313·36.89 + 2.3473·62.28 +1.8094·88.19 +1.23·111.21 +0.622·126 - 3·502.4)/0.5506 = - 1528.1 кг(работает на растяжение)

Уравнение моментов относительно узла 13:

М₁₃ = -2.97Q₁ - 2.5511Q₂ - 2.0671Q₃ - 1.5292Q₄ - 0.95Q₅ - 0.3419Q₆ + 2.72V_A - 0.5278N_8-м = 0;

N_8-м = (-2.97·12.45 - 2.5511·36.89 - 2.0671·62.28 - 1.5292·88.19 - 0.95·111.21 - 0.3419·126 + 2.72·502.4)/0.5278 = 1559.51 кг (работает на сжатие)

Для определения усилий в стержне N_м-н можно составить уравнение моментов относительно узла 15, но проще составить уравнение сил относительно оси х:

ΣQ_x = - N_м-нcos63.03 - N_8-мcos4.348 - N_1-н = 0;

N_м-н =(1528.1 - 1559.51·0.9971)/0.4535 = - 59.36 кг (работает на растяжение)

В данном случае знак "-" снова показывает, что сила направлена в сторону, противоположную от той, которую мы приняли при составлении расчетной схемы. Проверим правильность расчетов

ΣQ_у = Q₇/2 - N_м-нsin63.03 - N_8-мsin4.348 = 65.4 - 1559.51·0.0758 +59.36·0.8912 = 0.09 кг

В данном случае складывать все силы, действующие в узлах, не было необходимости, так как опорная реакция больше суммы сил на Q₇/2.

На этом расчет стержней по первому варианту нагружения можно закончить, но для уверенности проверим еще одно

сечение IX-IX (рис. 293.2. д)

Усилия в стержнях определяются по приведенному выше алгоритму (геометрические параметры не приводятся), значения плеч действия сил для стержней, а также угол наклона стержня N_з-и определялись графически. Сначала составим уравнение моментов относительно узла 9:

М₉ = -1.8753Q₁ - 1.4564Q₂ - 0.9274Q₃ - 0.4345Q₄ + 1.6253V_A - 0.4911N_6-з = 0;

N_6-з = - (1.8753·12.45 + 1.4564·36.89 + 0.9274·62.28 +0.4345·88.19 - 1.6253·502.4)/0.4911 = 1311.6 кг

Уравнение моментов относительно узла 10:

М₁₀ = -2.02Q₁ - 1.6014Q₂ - 1.1741Q₃ - 0.5795Q₄ + 1.7753V_A + 0.5132N_1-и = 0;

N_1-и = - (-2.02·12.45 - 1.6014·36.89 - 1.1741·62.28 - 0.5795·88.19 + 1.7753·502.4)/0.5132 = - 1303.68 кг (работает на растяжение)

Для определения усилий в стержне N_з-и можно составить уравнение моментов относительно узла 11, но проще составить уравнение сил относительно оси х:

ΣQ_x = - N_з-иcos76.95 - N_6-зcos21.737 - N_1-иcos15.6175 = 0;

N_з-и =(1303.68·0.9631 - 1311.6·0.93)/0.2258 = 164.8 кг

Проверим правильность расчетов

ΣQ_у = Q₅ + Q₆ + Q₇/2 - N_з-иsin76.95 - N_6-зsin21.737 - N_1-иsin15.6175 = 65.4 + 126 + 111.21 - 1311.6·0.3703 - 164.8·0.9741 + 1303.68·0.2692 = 7.3 кг

В данном случае погрешность набежала намного больше из-за графического определения значений плеч действия сил и угла наклона одного из стержней, но все равно эта погрешность находится в пределах 1%, а потому вполне допустима, тем более, что в данном сечении усилия в стержнях не максимальные.

---

Дата добавления: 2019-09-08; просмотров: 341; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!