Точечные оценки параметров генеральной совокупности.
Типы погрешностей, связь между ними.
Погрешности измерений принято подразделять на систематические, случайные и грубые (промахи).
Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при выполнении измерений одним и тем же методом с помощью одного и того же измерительного прибора. В некоторых случаях они могут совершенно исказить результат измерений, однако существует принципиальная возможность изучить систематические погрешности и полностью исключить их влияние путем изменения условий эксперимента либо введения соответствующих поправок.
Систематические погрешности можно разделить на группы:
· погрешности известного происхождения, которые могут быть точно определены,
· погрешности, природа которых известна, но точное значение их не установлено (погрешность измерительных приборов),
· погрешности, о существовании которых исследователь не подозревает, хотя величина их может быть очень значительна (самый опасный тип). Например, при определении концентрации клеток в растворе можно ошибиться при измерении оптической плотности раствора, измеряемой при 540 нм, если этот раствор кроме клеток содержал нерастворимые твердые вещества, также поглощающие свет при 540 нм.
Чтобы убедится в отсутствии таких погрешностей, следует провести измерения разными методами и при разных условиях.
Случайные погрешности обусловлены влиянием ряда причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и может быть не учтено. Проверить влияние случайных погрешностей на результаты измерений можно повторением измерений при одинаковых результатах
|
|
|
Если каждый раз будут получаться несколько отличающиеся результаты, то можно сделать вывод, что данные отягощены случайными погрешностями.
Грубые погрешности (промахи) – те погрешности, которые обусловлены лишь невнимательностью экспериментатора. Для их устранения необходимо соблюдать аккуратность и тщательность в работе и оформлении результатов (неверная запись показаний прибора, отход от общепринятой методики и т.д.)
10. Нормальный закон распределения
При измерениях физических величин в тех случаях, когда основную роль играют случайные погрешности, все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью, т.к. случайные погрешности образуются в результате совокупности ряда мелких не учитываемых причин, каждая из которых вносит незначительный вклад в общую погрешность, причем часть из них положительна, часть – отрицательна. Поэтому общая погрешность, образующаяся в результате сложения таких элементарных погрешностей, может иметь различные значения, каждому из которых соответствует разная вероятность.
|
|
|
Для того чтобы выявить случайную погрешность, необходимо измерение повторить несколько раз. Если каждое измерение дает несколько отличительные от других измерений результаты, то случайная погрешность играет существенную роль.
Допустим, что истинное значение измеряемой величины есть α,
αx = α + ∆х,
результат измерения, отягощенный случайной погрешностью ∆х, т.е. также некоторая случайная величина.
Обычно принимают, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, или распределению Гауса.
Этот закон основан на следующих предположениях:
1. Случайные погрешности ∆х вызываются действием большого числа причин, каждая из которых приводит к малому по абсолютному значению элементарному отклонению + ε или – ε.
2. Одинаковые по абсолютному значению элементарные отклонения равновероятны.
3. Причины, вызывающие элементарные отклонения, действуют независимо.
Эти предположения приводят к закону распространения ошибок, который можно сформулировать так: вероятность того, что случайная величина (например, результат измерения, отягощенный случайной погрешностью) примет значение в пределах бесконечно малого интервала между х и х + dх, определяется как Υ (х) d х, где φ (х) – некоторая функция, называемая плотностью вероятности.
|
|
|
Плотность вероятности нормального распределения выражается следующим образом:
φ (х) = 1 Е х - α 2
σ √2 π 2 σ 2 , -- ∞ < х < +∞ (9.1)
где α и σ 2 – параметры распределения.
Параметр α – истинное значение измеряемой величины, он определяет расположение центра распределения на числовой оси.
Параметр σ 2 называют дисперсией, он служит мерой рассеяния случайной величины. Положительное рассеяние квадратного корня из дисперсии σ называют средним квадратическим отклонением.
Плотность вероятности нормального распределения достигает максимума в точке α.
Наиболее вероятны значения х, близкие к α: по мере удаления от α значения х становятся все менее вероятными, или вероятность появления случайных погрешностей х - α есть убывающая функция их величины.
Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения Х от α равновероятны.
С уменьшением среднего квадратического отклонения кривые нормального распределения становятся более крутыми, т.е., чем меньше π, тем меньше вероятность появления больших по абсолютному значению случайных погрешностей (выше точность измерений).
|
|
|
11. Генеральная и выборочная совокупности.
Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.
Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100.
Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n . . В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть р епрезентативной (представительной) .
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор;б) механический отбор; в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности и после обследования не возвращают (бесповторный отбор) или возвращают ( повторный отбор) в генеральную совокупность.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.
Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.
12. С в я з ь систематической и случайной п о г р е ш н о с т е й
Систематическую погрешность можно перевести в случайную. Организовывают измерения таким образом, что постоянный фактор, влияющий на результат измерений в каждом из них, будет действовать по-разному, а, следовательно, результат его действия будет носить случайный характер. Это прием превращения систематической погрешности в случайную называется рандолизацией. Он позволяет практически исключить многие неизвестные систематические погрешности и улучшить точность получаемых результатов.
Например, при определении количества клеток в культуральной жидкости, подсчитывают количество клеток в каком-то небольшом объеме жидкости, а затем умножают результат на отношение объемов культуральной жидкости и выбранного объема. Здесь результат может быть искажен систематической погрешностью, связанной с неоднородностью проб. Чтобы этого избежать, нужно отобрать несколько проб случайным образом и взять среднее этих проб. Таким образом, систематическая погрешность, обусловленная неоднородностью отбора пробы, будет переведена в случайную.
Точечные оценки параметров генеральной совокупности.
Во многих случаях мы располагаем информацией о виде закона распределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределения, таких как Mx, Dx. Для определения этих параметров применяется выборочный метод.Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину
Величина называется относительной частотой значения признака xi. Если значения признака, полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой
.
Естественно считать величину выборочной оценкой параметра Mx. Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.
Выборочную дисперсии можно считать точечной оценкой дисперсии D x генеральной совокупности.
Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками x и y. Например, деталь может иметь два размера – длину и ширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредных веществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеваний населения в месяц. Можно через равные промежутки времени сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величинуx,h. Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин x иh, мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.
Выборочные параметры или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.
Пусть выборочный параметр dрассматривается как выборочная оценка параметра D генеральной совокупности и при этом выполняется равенство
Md =D.
Такая выборочная оценка называется несмещенной.
Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию, называется эффективной.
Полученная из выборки объема n точечная оценка dn параметра D генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к D.Это означает, что для любых положительных чисел e и g найдется такое число n e g , что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > n e g выполняется условие.и являются несмещёнными, состоятельными и эффективными оценками величин M x и D x.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок .
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство | Q — Q * | < .
Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.
Чтобы по выборке можно было делать выводы о свойствах всей генеральной совокупности, она должна быть представительной (репрезентативной). Это обеспечивается в тех ситуациях, когда выборка является случайной. Модель случайной выборки предъявляет к ней следующие требования:
1) каждый из объектов, составляющих генеральную совокупность, должен иметь одинаковую вероятность быть представленным в выборке;
2) все n измерений, образующих выборку, должны быть независимыми, т. е. результаты каждого измерения не должны зависеть от предыдущих измерений.
Существует два основных метода отбора объектов из генеральной совокупности в выборку: повторный и бесповторный.
При повторном отборе каждый объект после измерения значения признака возвращается в генеральную совокупность. При этом состояние генеральной совокупности перед каждым новым измерениемвосстанавливается и требование независимости всегда выполняется.
При бесповторном отборе после измерения объект не возвращается в генеральную совокупность. В этом случае соотношение значений признака в оставшейся части генеральной совокупности меняется, и, следовательно, проводимые измерения не являются независимыми, т. е. бесповоротный отбор не является случайным. На практике бесповоротный отбор используется чаще. Когда проводится измерение каких-то признаков, относящихся, например, к преступникам, выборка составляется таким образом, что после того, как очередной человек принял участие в измерениях, он уже не участвует в следующих измерениях.
Но, как правило, можно считать, что объем генеральной совокупности настолько велик, что при исключении из нее относительно малого числа единиц, составляющих выборку, состояние генеральной совокупности практически не меняется. При бесконечной генеральной совокупности различие между повторным и бесповторным отбором исчезает.
На практике используется несколько способов получения случайных выборок:
1. собственно случайная,
2. механический отбор.
3. типический отбор.
4. серийный отбор.
При проведении выборочных исследований предполагается, что выборка является однородной. Это означает, что она получена из одной генеральной совокупности, т. е. в исходной совокупности отсутствуют объекты, резко выделяющиеся по значениям изучаемого признака. Предположение об однородности выборки на практике обычно основывается на предварительном изучении условий эксперимента. Так, обычно есть уверенность в том, что полученные выборочные данные о количестве правонарушений представляют собой результаты измерений для одинаковых по численности городов.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 363; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!