Раздел 4. Проверка выполнимости условий Гаусса-Маркова. Коррекция статистических выводов при их нарушении. Обнаружение гетероскедастичности.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 17Следующая ⇒

Во втором условии Гаусса - Маркова требуется, чтобы дисперсия случайного члена в каждом наблюдении была постоянной. Если данное условие не выполняется то, говорят, что имеет место гетероскедастичность. Этот вид нарушений стандартных предположений характерен для статистических данных, относящихся к одному моменту времени, но собранных по различным регионам, различным предприятиям, различным социальным группам.

Для обнаружения гетераскедастичности используется ряд тестов. Рассмотрим один из них - тест Голдфелда-Квандта. Данный тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату обяъсняющего фактора ( ). Для этого необходимо выполнить следующие шаги.

1. Упорядочить п наблюдений по мере возрастания объясняющей переменной х.

2. Отбросить центральных наблюдений (для более надежного разделения групп с малыми и большими дисперсиями случайных ошибок). Таким образом, что для дальнейшего анализа остается наблюдений.

3. Произвести оценивание выбранной модели отдельно по первым и по последним наблюдениям.

4. Вычислить отношение остаточных сумм квадратов, полученных при подборе модели по последним (остаточная сумма квадратов ) и по первым (остаточная сумма квадратов ) наблюдениям.

Полученное отношение имеет распределение Фишера с степенями свободы. Если оно превышает табличное значение (см. Приложение, таблица 2), то гетероскедастичность имеет место. В противном случае гетероскедастичность отсутствует.

Пример 4.1. Наосновании наблюденийрассматривается линейная регрессионная модель с объясняющими факторами. Для первых и последних 11 наблюдений суммы квадратов отклонений и равны соответственно 20 и 45. С помощью теста Голдфелда-Квандта проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности. Уровень значимости .

Решение. Как следует из условия задачи, было отброшено центральных наблюдений (30-11-11). Из таблиц -распределения (см. Приложение, таблица 2) находим граничную точку -статистики с числом степеней свободы равном =(8,8): . Статистика . На уровне значимости принимается об отсутствии гетероскедастичности.

Помимо теста Голдфелда-Квандта для проверки наличия гетероскедастичности широко используются также и тест Глейзера. Этот тест позволяет более тщательно рассмотреть характер гетероскедастичности.

Коррекция статистических выводов при гетероскедастичности.

При наличии гетероскедастичности необходимо от исходной модели наблюдений

перейти к следующей модели наблюдений:

где

Для преобразованной модели наблюдений дисперсии случайных отклонений будут однородными.

Обнаружение автокорреляции.

В третьем условии Гаусса-Маркова предполагалось, что значения случайного члена в любом наблюдении определяется независимо от его значений во всех других наблюдениях, т.е. мы предполагали. Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. Этот вид нарушений стандартных предположений характерен для статистических данных, развернутых во времени. Автокорреляция ошибок обычно возникает вследствие неправильной спецификации модели, например, при невключении в модель существенной объясняющей переменной с выраженной автокорреляцией. Для обнаружения автокорреляции обычно используется статистика Дарбина-Уотсона, определяемая соотношением:

где — остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений.

Статистика принимает значения в интервале от до . Соответственно, идеальное значение статистики - 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения критерия соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие значения - отрицательной. Статистика учитывает только автокорреляцию первого порядка. Оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние ( ) и нижние ( ) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа объясняющих факторов модели. Значения этих границ для уровня значимости = 0,05 даны в специальных таблицах (см. Приложение, таблица 3). При сравнении расчетного значения с табличным могут возникнуть такие ситуации: