Методика изучения квадратичной функции

Изучение функции в школе состоит из основных трех частей:

- изучение понятия функция и способов ее задания;

- исследование функции элементарными средствами;

- изучение начал математического анализа их применение к исследованию функций средствами дифференциального исчисления.

Свойства функции в основной школе устанавливаются по графику, на основе наглядных соображений и соответствующих приемов. Перечень свойств, подлежащих рассмотрению, увеличивается постепенно по мере овладения учащимися соответствующим теоретическим материалом.

Уровень требований к объему и глубине знаний учащихся о функциях постепенно повышается. Они учатся исследовать функцию на трех «языках»: графическом, словесном и символическом.

В 10 классе повторяются и обобщаются общие сведения о функциях. Основным понятиям – «числовая функция» и «способ задания числовой функции» - даются более точные определения и обозначения, уточняются определения всех основных свойств функций и приемов их выявления элементарными средствами при сохранении графической интерпретации, появляется задача построения графика функции на основе ее исследования.

7.5.1. Определение квадратичной функции и ее свойства

Практически во всех учебниках изучение данной темы начинается с введения определения квадратичной функции.

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где - независимая переменная, некоторые числа, причём .

Изучение квадратичной функции происходит в следующей последовательности:

1) , где (график - парабола);

2) , где .

Предлагается рассмотреть следующие функции: , которые обладают теми же свойствами, что и функция , а их графики строятся с использованием некоторых преобразований.

3) . Учащиеся усваивают, что график данной функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.

4) . Решая квадратное уравнение , учащиеся находятся его корни.

5) , . Учащиеся усваивают, что - вершина параболы.

6) , если . Вводится понятие квадратичной функции.

Свойства квадратичной функции, если a >0

1) , так как значение квадратного трехчлена однозначно определено для любого действительного числа.

2) Убывает на луче ( ], возрастает на луче [ )

у(х₁) – у(х₂) =…=а(х₁ – х₂) ((х₁ – х₀) + (х₂ – х₀)). Имеем а > 0, х₁> х₂ х_0.Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что у(х₁) – у(х₂) > 0 , при а> 0 квадратичная функция является возрастающей на промежутке .

3) Точки пересечения с осями координат.

Если х = 0, то получим точку с координатами (0;с).

Если Д = 0, то - (х₀; 0).

Если Д<0, то точек пересечения с осью абсцисс нет.

Если Д>0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле. Поэтому существует две точки пересечения с осью абсцисс, они имеют координаты (х₁;0), (х₂;0).

4) Ограничена снизу, не ограничена сверху.

5) не существует.

6) Функция непрерывна (дается поясняющее описание);

7) [ )

Доказательство. Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат.

у = ах² + вх + с = а(х² + в/а х + с/а) = а ((х + в/2а)² - ) = а(х –х₀)² + у₀, где использованы обозначения, , . Выражение (х –х₀)²может принимать любое неотрицательное значение в зависимости от х. Поэтому областью значений выражения а(х –х₀)² + у₀при всех действительных х является [ ).

8) Выпуклая вниз (первичное знакомство).

Аналогично рассматриваются свойства функции, если а < 0.

Вводится понятие «график функции».

Графиком функции является парабола с вершиной в точке , где , , и с ветвями, направленными вверх, если a>0, и вниз, если a<0. Прямая - является осью параболы.

Следует обратить внимание на алгоритм построения параболы, предложенный в учебнике А.Г. Мордковича.

1. Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.

2. Отметить на оси две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку ), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.

3. Через полученные три точки провести параболу (в случае необходимости надо взять ещё пару точек, симметричных относительно оси параболы, и построить параболу по пяти точкам).

В упражнениях предлагаются задания: построить графики функций, найти наибольшее и наименьшее значения, указать промежутки возрастания и убывания функции; по графику функции определить, какой функции он соответствует, и перечислить свойства данной функции.

7.5.2.Методические замечания к изучению темы «Квадратичная функция»

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных – 9класс (Г.В. Дорофеев)

Изучение темы начинается с общего знакомства с функцией у = ах² + вх +с. На готовом чертеже выявляются основные особенности ее графика. В небольшом историческом экскурсе «раскрывается» геометрическое «происхождение» параболы и приводятся примеры использования ее свойств в технике. Этот вводный фрагмент, сопровождаемый серией разнообразных заданий, позволяет сделать дальнейшее изучение темы осознанным и целенаправленным.

Далее изложение материала осуществляется следующим образом:

- рассматриваются свойства и график функции у = ах²;

- изучается вопрос о графиках функций у = ах² +q, у = а(х + p)², у = а(х + p)² + q, которые получаются с помощью сдвига вдоль осей координат «стандартной» параболы ах²;

- доказывается теорема о том, что график любой функции вида у = ах² + вх +с может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы у = ах²;

- по коэффициентам квадратного трехчлена у = ах² + вх + с школьники учатся представлять общий вид соответствующей параболы и вычислять ее вершину.

В системе упражнений значительное место отводится задачам прикладного характера.

Завершается тема рассмотрением вопроса о решении квадратных неравенств. Прием, к которому при этом обращаются, основан на использовании графиков.

Планирование темы

Название пунктов (Г.В.Дорофеев Алгебра - 9)	Число уроков	Дидактические материалы
2.1. Какую функцию называют квадратичной	3	0 -7 – 0 -8, П -18
2.2 График и свойства функции у = ах²	3	0 -9, П -19
2.3. Сдвиг графика функции у = ах²вдоль оси координат	4	0 – 10 - 0 – 12, П -20
2.4. График функции у = ах² + вх + с	5	0 - 13, П - 21
2.5. Квадратные неравенства	4	0 -14, П – 22
Зачет № 2	1	«Проверь себя сам»

Учитель может организовать с учащимися работу по изучению п.2.1 («Какую функцию называют квадратичной»), пользуясь следующими рекомендациями авторов.

«Изучение пункта «Какую функцию называют квадратичной» преследует две цели:

-создание первоначальных представлений о графике квадратичной функции, знакомство с параболой как геометрической фигурой;

-повторение некоторых общих сведений о функциях, известных учащимся из курса 8 класса.

При работе с теоретической частью и при выполнении заданий учащиеся должны проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.

Теоретический текст пункта разбит на 4 фрагмента.

1. Приводится определение квадратичной функции, которое иллюстрируется примерами зависимостей из геометрии и физики.

2. Цель второго фрагмента – создание общих представлений о графике квадратичной функции. На рис. 2.2. учебника в одной системе координат построены графики функций вида у = ах² + вх + с. Необходимо обсудить с учащимися, что общего у этих графиков и чем они различаются.

3. Рассматривается построение графика функции у = х² – 2х -3, вводится понятие области значений функции. Все рассуждения проводятся сначала с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Формирование таких понятий, как наименьшее (наибольшее) значение функции, неограниченность сверху (снизу), происходит с опорой на наглядное представление.

4. Рассматривается график квадратичной функции, описывающей реальный процесс. Теоретическая часть пункта завершается рассказом об особенностях параболических зеркал. Дана авторская характеристика (назначение, дидактическая цель выполнения…) некоторых упражнений.

№181 – 184 – восстановить навыки использования функциональной символики, приемов нахождения значений у по заданному значению х (и наоборот) с использованием формулы и графика.

№185 – 187 – вспомнить термин «нуль функции». Так как учащимся еще не известно о зависимости направления ветвей параболы от знака первого коэффициента квадратного трехчлена, то при выполнении упр №186 ответ о расположении графика должен быть неоднозначным. Учащиеся должны строить график по точкам, а не пользоваться опытом наблюдения, так как верное умозаключение нуждается в доказательстве.

№188 - 191 направлены на овладение учащимися одним из алгоритмов построения квадратичной функции (имея пару симметричных точек параболы, можно построить ее ось симметрии и найти координаты вершины).

№192 – задача исследования (из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат).

Задания к лекции

I. Работа над усвоением определения линейной функции проходит «через задачи». Продумайте систему задач, предназначенных для работы над усвоением определения линейной функции.

Указание. Система может включать в себя:

1.Задачи на доказательство того, что функция, заданная формулой, не имеющей вида

у = кх + в, а) является линейной, б) не является линейной.

2. Задачи на распознавание линейной функции в ее частных видах при различных значениях к и в.

3. Задачи на усвоение того факта, что областью определения линейной функции может быть как множество всех чисел, так и любое (непустое) его подмножество.

4. Задачи на распознавание линейной функции в функциях, заданных различными способами (не с помощью формул).

II. Подберите задачи практического содержания, для решения которых использовалась бы формула у = кх + в. Разработайте методику решения таких задач и раскрытия в них конкретного смысла коэффициентов к и в.

III. Подберите задачи на усвоение геометрического смысла коэффициентов к и в.

IV. Составьте беседу для учащихся 9 класса по обоснованию доказательства того факта, что графиком линейной функции является прямая или некоторое подмножество прямой, опираясь на знания учащимися курса геометрии.

Учебное издание

Нина Михайловна Епифанова

Ольга Павловна Шарова

Методика обучения алгебре основной школы

(Материалы к лекционным занятиям)

Учебно-методическое пособие

Редактор М.А. Кротова

Подписано в печать26.02.2006. Форма 60 х92/16.

Объём 4 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №______.

Издательство Ярославского государственного

педагогического университета

имени К.Д. Ушинского (ЯГПУ)

150000, Ярославль. Республиканская ул., 108

Типография ЯГПУ

150000, Ярославль, Которосльная наб., 44

Тел.: (4852) 72-64-05, 32-98-69.

[1] Это, например, алгоритмы выполнения операций над многозначными и целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, проценты.

[2] См. «Школа 2000» Математика, 5-6 классы: методические материалы к учебникам математики Г.В. Дорофеева, Л.Г.Петерсон / сост.: Л.Г. Петерсон. – М.: Дрофа, 2000. - С.21.

[3] См. Е.И. Лященко «Лаб. и практические работы по МПМ», 1988г.

[4] Множество натуральных чисел строилось дедуктивным путем, на основе аксиом.

[5] Материал для практического занятия «Действия с иррациональными числами см. газета «Математика» – 1996. - №3; 1995. - №47 – 48.

[6] См. в главе 40 библейской книги пророка Иезекииля: мерная трость разделяется на шесть локтей.

[7] Замечание. В учебнике «Алгебра» - 7 СИ Теляковского они названы свойствами.

[8] Роль и место темы «Неравенство» см. Приложение 1, 2, 3.

[9] А.В. Хинчин.

[10] К элементарным функциям принадлежат целые функции, рациональные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также их комбинации.

[11] В первом пункте темы «Функция» не вводится символ f(x).

[12] В учебнике А.Г. Мордковича на этот способ задания функции обращается особое внимание, а в учебнике С.А. Теляковского задания данного вида встречаются только в задачном материале.

[13] Только в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра - 9».

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 1322; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 1213

Мы поможем в написании ваших работ!