Зображення функції інтегралом Фур’є
Вступ
Розкладання періодичної функції в ряд Фур'є з погляду фізики відповідає на запитання про розподіл енергії процесу по гармоніках, дискретно, тобто стрибком, що міняє частоту. Такі явища, як світлові промені або шуми при радіозв'язку містять у своєму складі гармоніки всіх частот та у дану схему не укладаються. Безперервна зміна частоти приводить до поняття інтеграла Фур'є, у якому розподіл енергії по частотах характеризується спектральною щільністю. Кожній окремій узятій частоті відповідає нульова енергія, однак вона здобуває вагу, якщо розглядається деякий інтервал частот. Подібно повній масі, що у випадку безперервного розподілу виражається інтегралом від щільності, до інтеграла зводиться й повна енергія процесу, неперервно розподілена по частотах. Цей підхід став надбанням фізиків і інженерів, чиї професійні інтереси пов'язані з теорією передачі сигналів (радіофізика, оптика, акустика, кібернетика, електричні лінії тощо). Разом з тим, незалежно від фізичного змісту гармонійний аналіз має іншу важливу складову, він - ефективний засіб рішення широкого класу задач із різних галузей науки.
Перетворення Фур'є - це самостійна операція математичного аналізу, досліджувана в курсовій роботі саме в цій якості.
Постановка задачі
Для неперіодичної функції , знайти розклад інтеграла Фур'є амплітудний і фазовий спектри.
Ця задача має відношення до розділу математики, який називають гармонійний аналіз (або Фур'є аналіз).
|
|
Спектральный аналіз (Spectral analysis, Синоніми: Фур'єАналіз, Гармонійний аналіз, Frequency analysis) - це різновид обробки даних, пов'язаний з перетворенням їхнього частотного подання або спектра. Спектр виходить у результаті розкладання вихідної функції, що залежить від часу (часовий ряд) або просторових координат (наприклад, зображення), у базис деякої періодичної функції. Найбільш часто для спектральної обробки використовується спектр Фур'є, одержуваний на основі базису синуса (розкладання Фур'є, перетворення Фур'є) [7].
Основний зміст перетворення Фур'є в тім, що вихідна неперіодична функція довільної форми, яку неможливо описати аналітично й у загальному випадку важка для обробки й аналізу, представляється у вигляді сукупності синусів або косинусів з різною частотою й амплітудою. Іншими словами, складна функція перетвориться в множину більш простих. Кожна синусоїда (або косинусоїда) з певною частотою й амплітудою, отримана в результаті розкладання Фур'є, називається спектральною складовою або гармонікою. Спектральні складові створюють спектр Фур'є [5].
Візуально спектр Фур'є представляється у вигляді графіка, на якому по горизонтальній осі відкладається кругова частота, позначувана грецькою буквою "омега", а по вертикалі - амплітуда спектральних складових, звичайно позначувана латинською буквою A. Тоді кожна спектральна складова може бути представлена у вигляді відліку, положення якого по горизонталі відповідає її частоті, а висота - її амплітуді. Гармоніка з нульовою частотою називається постійною складовою (у тимчасовому поданні це пряма лінія).
|
|
Рис.1.1 Основні показники спектру функції [7]
Навіть простий візуальний аналіз спектра може багато сказати про характер функції, на основі якої він був отриманий. Інтуїтивно зрозуміло, що швидкі зміни вихідних даних породжують у спектрі складові з високою частотою, а повільні - з низкою. Тому якщо в ньому амплітуда складових швидко убуває зі збільшенням частоти, то вихідна функція (наприклад, часовий ряд) є плавною. І, навпаки, якщо в спектрі присутні високочастотні складові з великою амплітудою, то вихідна функція буде містити різкі коливання. Так, для часового ряду це може вказувати на більшу випадкову складову, нестійкість описуваних їм процесів, наявність шумів у даних.
В основі спектральної обробки лежить маніпулювання спектром. Дійсно, якщо зменшити (придушити) амплітуду високочастотних складових, а потім на основі зміненого спектра відновити вихідну функцію, виконавши зворотне перетворення Фур'є, то вона стане більш гладкою за рахунок видалення високочастотного компонента. Для часового ряду, наприклад, це означає забрати ін. - формацію про щоденні продажі, які сильно піддані випадковим факторам, і залишити більше стійкі тенденції, наприклад, сезонність. Можна, навпаки, придушити складові з низькою частотою, що дозволить забрати повільні зміни, а залишити тільки швидкі. У випадку часового ряду це буде означати придушення сезонного компонента.
|
|
Застосовуючи спектр таким чином, можна домагатися бажаної зміни вихідних даних. Найбільше часто використовується згладжування часових рядів шляхом видалення або зменшення амплітуди високочастотних складових у спектрі [7].
Для маніпуляцій зі спектрами використовуються фільтри - алгоритми, здатні управляти формою спектра, придушувати або підсилювати його складові. Головною властивістю будь-якого фільтра є його амплітудно-частотна характеристика (АЧХ), від форми якої залежить перетворення спектра. Якщо фільтр придушує тільки складові з низькою частотою, то він називається фільтр нижніх частот (ФНЧ), і з його допомогою можна згладжувати дані, очищати їх від шуму й аномальних значень, а якщо тільки складові з високою частотою, то це фільтр високих частот (ФВЧ). Завдяки йому можна придушувати повільні зміни, наприклад, сезонність у рядах даних. Крім цього, використовується множина інших типів фільтрів: фільтри середніх частот, загороджувальні фільтри й смугові фільтри, а також більш складні, які застосовуються при обробці сигналів у радіоелектроніці. Підбираючи тип і форму частотної характеристики фільтра, можна домогтися бажаного перетворення вихідних даних шляхом спектральної обробки.
|
|
Виконуючи частотну фільтрацію даних з метою згладжування й очищення від шуму, необхідно правильно вказати смугу пропущення ФНЧ. Якщо її вибрати занадто великою, то ступінь згладжування буде недостатнім, а шум буде подавлений не повністю. Якщо вона буде занадто вузькою, то разом із шумом можуть виявитися подавленими й зміни, що несуть корисну інформацію.
Спектральний аналіз є одним з найбільш ефективних і добре розроблених методів обробки даних. Частотна фільтрація - тільки один з його численних додатків. Крім цього, він використовується в кореляційному й статистичному аналізі, синтезі сигналів і функцій, побудові моделей і т.д.
Перетворення Фур'є
Зображення функції інтегралом Фур’є
Наведемо лише суттєвими рисами ті міркування, що приводять до інтегральної формули Фур’ є [3].
Нехай функція визначена на всій числовій прямій та задовольняє таким умовам:
Функція є обмеженою та абсолютно інтегрованою на , тобто існує невластний інтеграл
2. У будь-якому скінченому проміжку функція розкладається у ряд Фур’ є
(2.1)
де коефіцієнти Фур’є визначаються формулами
(2.2)
Підставивши замість коефіцієнтів і їх вирази, перепишемо ряд у вигляді
або
(2.3)
Дістанемо граничну форму цього розвинення при . Оскільки функція абсолютна інтегрована на всій числовій осі, то при граничному переході при перший доданок у правій частині (2.3) прямує до нуля
(2.4)
Позначимо та перепишемо (2.4) як
(2.5)
При інтеграл можна замінити інтегралом
, а суму
можна вважати за інтегральну суму для інтеграла
Таким чином, з рівності (2.5) дістаємо
(2.6)
Рівність (2.6) називається інтегральною формулою Фур’є, а інтеграл у її правій частині - інтегралом Фур’є. Зображення функції у вигляді інтеграла Фур’є звичайно називають розкладанням цієї функції в інтеграл Фур’є.
Зауваження 1. Формула (2.6) має сенс тільки для точок неперервності функції , а у кожній точці розриву першого роду, як і для рядів Фур’ є, інтеграл Фур’є збігається до числа
.
Формулу (2.6) приводимо до вигляду, що є збіжним з рядом Фур’ є:
(2.7) де
(2.8)
Рівність (2.7) аналогічна розвиненню функції в тригонометричний ряд Фур’є, а вираз (2.8) - формулам для коефіцієнтів Фур’ є. І, таким чином, (2.7) можна трактувати як розкладання неперіодичної функції, визначеної на всій числовій осі на суму гармонічних складових частоти , які неперервно заповнюють дійсну піввісь
Зауваження 2. Якщо функція - парна, то та інтеграл Фур’є для такої функції має вигляд
(2.9)
У випадку непарної функції
інтеграл Фур’є набуває вигляду
(2.10)
Приклад 1. Зобразити інтегралом Фур’є неперіодичну функцію
Дана функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’є. За формулами (2.8) і (2.7)
у точках розриву і інтеграл збігається до числа
Приклад 2. Зобразити інтегралом Фур’є неперіодичну функцію
Функція задовольняє умовам зображення її інтегралом Фур’ є, до того ж вона парна, а відтак
Якщо , то
і
Функція у точці має усувний розрив (що не впливає на значення інтеграла (2.7)). Побудоване зображення функції інтегралом Фур’є можна записати у вигляді
.
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 211; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!