Траєкторії математичного більярду в еліпсі
Природним узагальненням круга в математиці є еліпс. Цікава властивість більярдів в еліпсі: як би ми не випустили більярдний шар з одного фокусу, він після одного віддзеркалення від еліпсу пройде через другий фокус, після другого – через перший фокус. (дотична до еліпса, що проведена в його довільній точці М, утворює рівні кути з відрізком F1M F2M, що з’єднують обидва фокуси з цією точкою).
Теорема про каустик в еліпсі. Якщо одна ланка більярдної траєкторії в еліпсі Э0 проходить через фокус, то і вся решта ланок проходить через фокуси. Якщо ж жодна ланка траєкторії не проходить через фокуси, то всі її ланки торкаються однієї і тієї ж кривої. Цією кривою є або еліпс Э1 софокусний з даним, або гіпербола Г1, софокусна з даним еліпсом Э0 (в останньому випадку торкатися гіперболи Г1 можуть не самі ланки, а їх продовження за точку віддзеркалення).
Криві, які одночасно торкаються всіх ланок більярдної траєкторії, називаються її каустиком. Точніше, каустика в більярді — це така крива, що якщо більярдну частку запустити по дотичній до неї, то після віддзеркалення частка також полетить по дотичній до цієї ж кривої. Термін «каустику» запозичений з оптики, де він означає лінію, огинаючу світловий пучок в місці його сходження після віддзеркалення від дзеркала (назва «каустика» означає ту, що «пекуча», оскільки каустик служить місцем концентрації енергії).
|
|
|
Доказ теореми:
(тільки для каустик-еліпсів) Тут F1 і F2 —фокуси еліпса, а А1АА2 - дві ланки більярдної траєкторії. Точка В1 і В2 симетричні фокусам F1 і F2 відносно прямих А1А і А2А. Добре відомо, що відрізки F1А і F2А утворюють однакові кути з дотичною до еліпса в точці А. Тому всі чотири кути ‹В1АА1, ‹А1АF1 ‹F2AA2 i ‹A2AB2 рівні між собою. Отже, трикутники АВ1F2 і AB2F1 рівні, тобто B1F2=B2F1. Звідсіля |F1C1| + |F2C1| = |F1C2| + |F2C2|, де С1 і С2 – точки перетину АА1 з В1F2 i AA2 з B2F1.Значить, С1 і С2 лежать на одному еліпсі з фокусами F1 і F2, для якого відрізки АА1 і АА2 є дотичними. До речі, каустики є і у більярда в колі – це концентричні кола меншого радіусу.
Математичний більярд на прямокутному столі без луз
Більярдом в прямокутнику називається така система: один точковий більярдний шар на прямокутному більярдному столі ABCD без луз, що рухається по ньому без тертя і віддзеркалюється від його сторін («бортів») по більярдному закону «кут падіння дорівнює куту віддзеркалення».
Найпростіші більярдні траєкторії в прямокутнику – періодичні. Вони можуть бути декількох типів: складатися з дворазово пройдених відрізків між протилежними сторонами (малюнок а)); утворювати родини паралелограмів зі сторонами, паралельними діагоналям прямокутника (малюнок б)); утворювати замкнені ламані (малюнок в))
|
|
|
Бувають і такі траєкторії, які попадають в вершини прямокутника. В такому випадку незрозуміло, як шару належить рухатися після виходу «з кута». Такі траєкторії мають назву – особі, і якщо траєкторія попадає в вершину, обривають її, і від траєкторії залишається тільки її частина (напівтраєкторія). Але у випадку прямокутного більярду шар можна вважати вилетівшим після попадання в вершину в точності у протилежному напрямку. (Такого висновку не можна робити для більярду в довільному многокутнику.)
Намалювати хоча б одну неперіодичну траєкторію більярда в прямокутнику вже значно важче. Задача про розпізнання періодичних і неперіодичних траєкторій більярда розв’язується за допомогою процедури «випрямлення траєкторій»
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 153; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!