Введение в кинематику твердого тела
В самом общем случае тело может совершать любые перемещения в пространстве. Примером может служить движение самолета, способного переместиться в любое место воздушного пространства и как угодно поворачиваться по отношению к Земле.
Однако, во многих практически интересных случаях на тело наложены те или иные связи, ограничивающие некоторые его перемещения. Происходящее при этом движение обладает определенными особенностями. В связи с этими особенностями различают поступательное, вращательное, плоскопараллельное и сферическое движения абсолютно твердого тела. Первые два относятся к числу простейших. Другие движения считаются составными, поскольку их можно интерпретировать как те или иные комбинации простейших движений.
Одна из задач кинематики твердого тела состоит в том, чтобы задать движение тела. Движение тела считается заданным, если установлен способ определения положения любой его точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета. Далее необходимо разработать способы определения движения всех точек тела, способы вычисления скоростей и ускорений этих точек. Помимо этого существуют кинематические характеристики, присущие телу в целом. Они также требуют определения и установления способов их вычисления.
Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.
|
|
|
Рассмотрим две любые точки 
и 
тела. В любой момент времени имеет место равенство (Рис. 2.1)
(2.1)
причем, 
Модуль 
не изменяется, так как тело абсолютно твердое; направление 
не изменяется, так как движение поступательное.
|
| Рис. 2.1 |
Из равенства (2.1) следует, что траектория точки 
может быть получена из траектории точки 
смещением всех ее точек на постоянный вектор. Таким образом, все точки тела при поступательном движении описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории.
Дифференцируя равенство (2.1) по времени, получаем, что в любой момент времени все точки тела имеют одинаковые скорости
и одинаковые ускорения
Таким образом, поступательное движение твердого тела полностью характеризуется движением одной (любой) его точки. Чтобы задать поступательное движение тела, достаточно задать закон движения одной из его точек, например, центра масс тела:
|
|
|
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Задание вращательного движения твердого тела. При вращательном движении в теле существует единственная прямая, все точки которой остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения. Чтобы получить вращательное движение, можно шарнирно закрепить две точки тела (Рис. 2.2).
Проведем в теле сечение, перпендикулярное оси вращения. Через любую точку сечения 
проведем перпендикуляр к сечению 
. Отрезок 
во все время движения остается параллельным оси вращения, т.е. движется поступательно. Таким образом, положение сечения полностью определяет положение тела в системе отсчета.
Рассмотрим движение сечения (Рис. 2.3). Положение сечения полностью определяется положением любого отрезка 
, пересекающего ось вращения 
. Положение отрезка 
, а следовательно, положение тела можно задать углом 
, который отсчитывается от некоторой неподвижной прямой (например, оси 
). За положительное направление отсчета
этого угла примем направление против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения. Чтобы задать движение, нужно задать закон изменения угла поворота со временем: 
|
|
|
| 
| |
| Рис. 2.2 | Рис. 2.3 |
Вычисление скорости и ускорения любой точки вращающегося тела. Вычислим скорость любой точки 
тела. Траектория точки известна – это окружность с центром 
, лежащим на оси вращения, радиус которой 
равен кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения (Рис. 2.4).
Вектор скорости 
направлен по касательной к этой окружности, т.е. перпендикулярен отрезку . Дугу 
можно рассматривать как дуговую координату точки. Длина дуги окружности связана с центральным углом формулой 
Принимая во внимание формулу (6.4), получаем:
|
| |
| Рис. 2.4 | Рис. 2.5 |
Величина 
называется угловой скоростью тела. Окончательно получаем:
(2.2)
Формула (2.2) называется формулой Эйлера (в дальнейшем будет получен векторный вариант этой формулы). На Рис. 2.5 представлено распределение скоростей точек сечения тела, перпендикулярного оси вращения.
Вычислим ускорение любой точки тела. Поскольку траектория точки окружность, находим касательное и нормальное ускорения точки:
|
|
|
Величина 
называется угловым ускорением тела. Окончательно получаем:
(2.3)
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
- В чём состоит естественный способ задания движения точки?
- Что называется дуговой координатой точки?
- Что представляет собой естественный трёхгранник?
- Как вычисляется вектор скорости при естественном способе задания движения?
- Как вычисляется вектор ускорения при естественном способе задания движения?
- Что называется поступательным движением твёрдого тела?
- Какими особенностями обладает поступательное движение?
- Что называется вращением тела вокруг неподвижной оси?
- Что называется угловой скоростью тела?
- Как вычисляется скорость любой точки тела при его вращении?
- Как вычисляется ускорение любой точки тела при его вращении?
ЛЕКЦИЯ 3 (7)
Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 186; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!