Формализация проблемной ситуации в разработке автопилота.
Н.С. Египко
Научный руководитель− к.ф.-м.н., доц. А.Г.Данекянц
(г. Ростов-на-Дону, Ростовский государственный строительный университет)
Применение дифференциальных уравнений к решению прикладных задач
Дифференциальное уравнение является одним из основных математических понятий. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. Понятно, что дифференциальные модели− это частный случай того множества математических моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. При этом необходимо отметить, что существуют и различные типы самих дифференциальных моделей.
Рассмотрим некоторые прикладные задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений.
Кривая погони. Пример использования дифференциальных уравнений для выбора правильной стратегии при решении задач поиска.
Задача 1. Пусть, например, миноносец охотится за подводной лодкой в густом тумане. В какой-то момент времени туман поднимается и подводная лодка оказывается обнаруженной на поверхности воды на расстоянии 3 миль от миноносца. Скорость миноносца вдвое больше скорости подводной лодки. Требуется определить траекторию (кривую погони), по которой должен следовать миноносец, чтобы он прошёл точно над подводной лодкой, если последняя сразу же погрузилась после её обнаружения и ушла на полной скорости прямым курсом в неизвестном направлении.
|
|
|
Применение дифференциальных уравнений в экономике
Задача 2. Модель естественного роста выпуска.
Применение дифференциальных уравнений в биологии
Задача 3. Закон размножения бактерий с течением времени. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Найти зависимость изменения количества бактерий от времени.
Решение. Пусть х − количество бактерий, имеющихся в данный момент, тогда 
, где k — коэффициент пропорциональности. В этом уравнении разделим переменные и проинтегрируем его: 
. Полагая, что при 
, получим 
. Следовательно, 
. Как видно, бактерии в благоприятных условиях будут размножаться по экспоненциальному закону. Это можно применять в практических целях, например, для выращивания нужных микроорганизмов.
Применение дифференциальных уравнений в физике
Задача 4 . Почему маятниковые часы не являются точными?
Задача 5. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.
|
|
|
Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение 
, где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx, k — коэффициент пропорциональности. Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя. Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные 
Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I0, при x=0, найдем частное решение 
. Следовательно, 
. Итак, мы получили закон поглощения света веществом (закон Бугера), где k -натуральный показатель поглощения.
Формализация проблемной ситуации в разработке автопилота.
Задача 6. Задача управления ставится следующим образом. Задан объект управления (ОУ). Необходимо синтезировать устройство управления, которое вырабатывает воздействия (управления) на объект, приводящие его к необходимой цели.
Полевой (дифференциальный) метод расчета способа защиты от пожара. Полевые модели являются наиболее мощным и универсальным инструментом компьютерного моделирования. В полевых моделях расчетная область делится на большое количество контрольных объемов. Для каждого из этих объемов с помощью численных методов решается система уравнений в частных производных, выражающих принципы локального сохранения массы, импульса, энергии и масс компонентов. С его помощью можно рассчитать температуры, скорости, концентрации компонентов смеси, тепловые потоки и т.д. в каждой точке расчетной области. Используя полевые модели можно провести расчет пожара на объекте практически любой геометрической формы с учетом основных физико-химических процессов.
|
|
|
Применение дифференциальных уравнений в медицине можно продемонстрировать на примере простейшей математической модели эпидемии. В модели описывается распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции.
Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата "искусственная почка", поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений.
Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 84; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!