Спектры некоторых периодических колебаний

Прямоугольное колебание (меандр) изображено на рис. 7.3.

При выбранном на рис. 7.3 начале отсчета времени функция

является нечетной. Коэффициенты ряда Фурье для нечетных функций a_n=0. Для коэффициентов b_n имеем

Учитывая, что , получаем

(7.5)

Начальные фазы равны 0 для всех гармоник. В тригонометрической форме ряд Фурье для прямоугольного колебания имеет вид

Графическая интерпретация ряда Фурье и спектр колебания представлены на рис. 7.4, 7.5. Спектр прямоугольного колебания состоит из бесконечного количества нечетных гармоник. С увеличением числа гармоник сумма ряда приближается к функции . При ограниченном числе гармоник ряд Фурье лишь приближенно аппроксимирует прямоугольное колебание.

Последовательность прямоугольных импульсов (рис. 7.6).

В данном случае функция четная и коэффициенты ряда Фурье b_n=0.

Значение средней (постоянной) составляющей

Значения коэффициентов ряда Фурье

Таким образом,

. (7.6)

Спектр последовательности прямоугольных импульсов изображен на рис. 7.7.

Спектр состоит из дискретных составляющих, амплитуда которых определяется огибающей вида , где . Расстояние между соседними линиями спектра определяется периодом повторения .

Огибающая спектра имеет нули в точках , и т. д. Спектр состоит из основного лепестка и ряда боковых лепестков. Протяженность основного лепестка принимается за условную ширину спектра. Учитывая, что , для ширины спектра в Гц получим . Откуда

. (7.7)

Это фундаментальное соотношение говорит о том, что произведение ширины спектра на длительность импульса остается постоянным. Поэтому более короткие импульсы имеют более широкий спектр.

Число дискретных линий в одном лепестке спектра равно скважности импульсной последовательности . При периодическая последовательность вырождается в одиночный импульс. При этом расстояние между спектральными линиями и спектр из линейчатого превращается в сплошной, но ширина спектра по-прежнему определяется соотношением (7.7).

Пилообразное колебание используется в устройствах развертки в осциллографах и мониторах. Колебание (график на рис. 7.8) описывается нечетной функцией, и ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены6

. (7.8)

Периодическая последовательность импульсов треугольной формы (рис. 7.9). Один импульс последовательности описывается выражением

Постоянная составляющая напряжения последовательности импульсов треугольной формы равна

Форма этой последовательности импульсов описывается четной функцией, поэтому коэффициенты ряда Фурье a_n=0, а коэффициенты b_n описываются выражением

Ряд Фурье для данной последовательности состоит из суммы постоянной составляющей и нечетных гармоник

Спектральная диаграмма последовательности изображена на рис. 7. 10.

Периодическая последовательность косинусоидальных импульсов. Такая последовательность возникает при воздействии на нелинейные элементы гармонических колебаний. Примером нелинейного элемента может служить полупроводниковый диод, вольт-амперная характеристика которого в первом приближении описывается кусочно-линейной функцией (рис. 7.11).

Наклон ВАХ характеризуется крутизной . Если к диоду приложить напряжение, состоящее из постоянной и переменной составляющих , то при определенных соотношениях между величинами и напряжением отсечки диода U₁ ток диода будет иметь форму косинусоидальных импульсов с углом отсечки . Угол отсечки может изменяться в пределах от 0 (ток диода равен нулю) до 180^° (режим без отсечки тока диода). Ток диода имеет форму периодических импульсов косинусоидальной формы, описываемых выражением

где – амплитуда импульсов тока.

Коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности косинусоидальных импульсов являются функциями угла отсечки:

(7.9)

Вводят нормированные параметры – коэффициенты Берга:

Зависимости первых четырех коэффициентов от угла отсечки приведены на рис. 7.12.

7.4. Расчет электрических цепей несинусоидального тока
с использованием разложения в ряд Фурье

Пусть требуется рассчитать ток в электрической цепи под действием периодической несинусоидальной ЭДС

, (7.10)

где – амплитуда n-й гармоники ЭДС. В линейных электрических цепях токи в ветвях находятся методом наложения (суперпозиций), путем суммирования токов, создаваемых каждым из слагаемых ЭДС (7.10). Для случая цепи, состоящей из последовательного соединения R, L, С элементов (рис. 7.13), имеем

где – амплитуда n-й гармоники тока,

– полное сопротивление цепи на частоте , .

Сопротивление цепи на постоянном токе равно , поэтому постоянная составляющая тока . При увеличении номера гармоники, т.е. с увеличением частоты , индуктивное сопротивление возрастает , а емкости уменьшаются , поэтому полное сопротивление цепи является функцией частоты . Если при некотором значении n выполняется условие , на частоте возникает резонанс напряжения.

Расчет разветвленной цепи периодического несинусоидального тока ведется для каждой гармоники в символической форме. Полный ток находится суммированием мгновенных значений гармоник тока в ветвях, так как векторы комплексных токов имеют различную частоту вращения.

7.5. Действующее значение и мощность периодического
несинусоидального тока

Действующее значение периодических токов (напряжений) определяется выражением

. (7.11)

Для синусоидального тока действующее значение тока вычисляется по формуле

В случае периодического несинусоидального тока вычисления по формуле (7.11) с использованием разложения в ряд Фурье дают результат

. (7.12)

Так как – квадрат действующего значения n-й гармоники, (7.12) можно записать в виде

. (7.13)

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений гармоник, включая постоянную составляющую. Активная мощность периодического несинусоидальго тока также может быть рассчитана с использованием разложения в ряд Фурье. Известно, что активная мощность равна среднему значению мощности за период

. (7.14)

При разложении периодических токов и напряжений в ряд Фурье средняя мощность каждой гармоники рассчитывается по формуле

, (7.15)

где j_n – сдвиг фазы между током и напряжением n-й гармоники. Интегрирование по формуле (7.14) с учетом ортогональности гармонических функций дает

. (7.16)

Из (7.16) следует, что активная мощность в цепях периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник и мощности постоянной составляющей. Для несинусоидальных токов также используют такие параметры, как коэффициент формы, коэффициент амплитуды и коэффициент гармоник. Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения тока к среднему значению:

. (7.17)

Для синусоидального тока . Коэффициент амплитуды определяется как отношение максимального значения к действующему значению:

. (7.18)

Для синусоидального тока .

Коэффициент гармоник определяется выражением

. (7.19)

Коэффициент гармоник используется для оценки степени соответствия периодического тока синусоидальному току.

Дата добавления: 2014-12-26; просмотров: 244; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!