Определение оригинала по теореме разложения. Вспомогательные приемы вычисления оригинала
Во многих случаях, относящихся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. практически во всех случаях анализа переходных процессов в линейных цепях изображение F (p) имеет вид рациональной
дроби. Определение оригинала f (t ) тогда может быть произведено согласно теореме (или формуле) разложения.
| Теорема разложения:если изображение имеет вид рациональной дроби | |||||||||||||||||||||
| F | ( p)= | A m ( p) |
| = | a m p m + a m−1 p m−1+K+ a1 p + a0 | , | |||||||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
| B n | ( p) | b n p n + b n−1 p n−1+K+ b1 p + b0 | |||||||||||||||||||
| причем степень | многочлена | A m (p) меньше | степени многочлена B n ( p) | ( m < n ), | |||||||||||||||||
| коэффициенты | a k и | b k — вещественные числа, а корни p k уравнения | B n (p)=0 | ||||||||||||||||||
| различны, то оригинал определятся выражением | |||||||||||||||||||||
| n | A ( p ) | p t | |||||||||||||||||||
| f (t )=∑ | mk | e | k | . | (6.137) | ||||||||||||||||
| B′( p ) | |||||||||||||||||||||
| k =1 | n | k | |||||||||||||||||||
| Соотношение (6.137) называется формулой разложения. Величины B n′ (p k ) в этой | |||||||||||||||||||||
| формуле есть значения производных многочлена B n (p) при p = p k , т.е. числа | |||||||||||||||||||||
| B n′( p k )=
| dB n (p) |
| . | ||||||||||||||||||
| dp | |||||||||||||||||||||
| p= p k | |||||||||||||||||||||
Основная трудность применения теоремы разложения, т.е. формулы (6.137), заключается в необходимости определения корней алгебраического уравнения степени n B n ( p) = 0 . При степени n > 4 , а практически и при n > 2 корни многочлена
B n ( p)могут быть определены только численно.Такая же трудность встречается и в
классическом методе при определении корней характеристического уравнения (6.10). Остановимся на некоторых вспомогательных приемах, позволяющих найти
оригинал по изображению функции, которое не удовлетворяет требованиям теоремы разложения.
164
В Если один из корней многочлена B n (p), допустим p1 , равен нулю, то формула разложения (6.137) принимает иной вид:
| f (t )= | A (0) | n | A ( p ) | p t | . | (6.138) | |||||||
| B′(0) | +∑ B′( p | k | ) e | k | |||||||||
| m | m | ||||||||||||
| n
| k =2 | n | k | ||||||||||
| Многочлен B n ( p) может иметь корень в начале координат ( p1 = 0 ), | когда в | ||||||||||||
данной цепи действуют источники постоянной ЭДС или постоянного тока. Выделенный постоянный член в формуле (6.138) представляет собой установившийся ток или напряжение в цепи.
2. Если B n ( p) имеет пару сопряженных чисто мнимых корней p1 = j ω и p2=− j ω ,то формулу разложения(6.137)можно записать так:
| f (t )= | A ( j ω) | j ω t | + | A (− j ω) | − j ω t | n | A ( p ) | p t | . | (6.139) | |||||||||
| B′( j ω) e | B′ | (− j ω) e | + ∑ B′ | ( p | k | ) e | k | ||||||||||||
| m | m | m | |||||||||||||||||
| n | n | k =3 | n | k | |||||||||||||||
| Многочлен B n ( p) может | иметь | пару чисто | мнимых | сопряженных | корней в | ||||||||||||||
случае, если рассматривается переходной процесс при наличии в цепи источников синусоидальных ЭДС или источников синусоидальных токов. Два первых выделенных члена в формуле (6.139) определяют синусоидальный ток или напряжение установившегося режима.
|
|
|
Если многочлен B n ( p) наряду с простыми корнями p1 , p2 , K , p s ( s < n ), имеет, например, еще один α - кратный корень p n , т.е. B n (p) = C s ( p)( p − p n )α , где α
— целое положительное число, то формула разложения (6.137) определяется равенством
s
f (t )=∑
k =1
| A | ( p | k | )e p k t | 1d α −1 | A ( p) | pt | |||||||||||
| m | + |
| m | e | p= p n . | (6.140) | |||||||||||
| d | [C s ( p)( p | − p n )α ]p= p |
| (α −1)! |
| dp α −1 | C s | ( p) | |||||||||
| dp | |||||||||||||||||
| k | |||||||||||||||||
Если кратных корней несколько и каждый имеет свою кратность, то для каждого из них нужно записать слагаемое, аналогичное второму члену в правой части равенства (6.140).
Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля. Основные положения
Метод интеграла Дюамеля (метод наложения)основан на принципе наложения,который позволяет искать общее решение линейных уравнений как линейную комбинацию, т.е. наложение более простых решений.
|
|
|
Идея подхода к анализу переходных процессов методом наложения следующая. Допустим, что внешнее воздействие f (t ) можно представить совокупностью более
простых, аналитически однотипных функций f k (t ), т.е.
∞
f (t )=∑ f k (t ).
k =1
Если искать реакцию x k (t ) исследуемой линейной цепи на воздействие f k (t ), то на основании принципа наложения можно утверждать, что реакция цепи x(t ) на заданное воздействие f (t ) равна сумме реакций x k (t), т.е.
165
∞
x(t )=∑x k (t ).
В =1
Следовательно, расчет переходного процесса в линейной цепи методом интеграла Дюамеля состоит из двух основных этапов:
W определение реакции цепи x k (t) на заданное простое воздействие f k (t);
X суммирование (наложение) частных решений x k (t ) и определение реакции цепи на исходное (сложное) воздействие f (t ).
Вид функции x k (t ) при заданном элементарном воздействии f k (t ) зависит только
от схемы цепи и параметров электрической цепи.
Элементарные составляющие f k (t) внешнего воздействия f (t ) целесообразно выбирать так, чтобы они были математически простыми, и расчет реакций x k (t ), ими вызываемых, был бы несложен.
Типовые функции воздействия
При исследовании динамических свойств линейных цепей в качестве типовых элементарных воздействий используются единичная ступенчатая функция 1(t ) и дельта-функция (импульсная функция) δ (t ).
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 194; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!