Максимальное изменение запаса ресурса
При решении вопроса о том, запас какого из ресурсов следует увеличивать в первую очередь, обычно используются теневые цены Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса, при которых теневая цена данного ресурса, ( фигурирующая в заключительной симплекс-таблице, остается неизменной, необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений. Рассмотрим сначала соответствующие вычислительные процедуры, а затем покажем, как требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы для оптимального решения.
В нашей задаче запас первого ресурса изменился на т. е. запас бюджета составит 1000 + . При положительной величине запас данного ресурса увеличивается, при отрицательной — уменьшается. Как правило, исследуется ситуация, когда объем ресурса увеличивается ( > ), однако, чтобы получить результат в общем виде, рассмотрим оба случая.
Как изменится симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на? Проще всего получить ответ на этот вопрос. если ввести в правую часть первого ограничения начальной симплекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразования, соответствующие последовательности итераций. Поскольку правые части ограничений никогда не используются в качестве ведущих элементов, то очевидно, что на каждой итерации будет оказывать влияние только на правые части ограничений.
|
|
|
| Уравнение | Значения элементов правой части на соответствующих итерациях | ||
| ( начало вычислений ) | 1 | 2 ( оптимум ) | |
| Z | 0 | 0 | 2455/11 |
| 1 | 1000 | 1000 + | 1000/55 + |
| 2 | 0 | 0 | 91/11 |
Фактически вce изменения правых частей ограничений, обусловленные введением , можно определить непосредственно по данным, содержащимся в симплекс-таблицах. Прежде всего заметим, что на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения представляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена, линейно зависящего от . Постоянные соответствуют числам, которые фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения . Коэффициенты при во вторых слагаемых равны коэффициентам при S1 на той же итерации. Так, например, на последнеи итерации ( оптимальное решение ) постоянные ( 2455/11 ; 1000/55 ; 91/11 ) представляют собои числа, фигурирующие в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введенияКоэффициенты ( 2711 ; 155 ; 111 ) равны коэффициентам при S1 в той же симплекс-таблице потому, что эта переменная связана только с первым ограничением. Другими словами, при анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S2.
|
|
|
Какие выводы можно сделать из полученных результатов? Так как введение сказывается лишь на правой части симплекстаблицы, изменение запаса ресурса может повлиять только на допустимость решения. Поэтому не может принимать значений, при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отрицательной. Из этого следует, что величина должна быть ограничена таким интервалом значений, при которых выполняется условие неотрицательности правых частей ограничений в результирующей симплекс-таблице, т. е.
X1 = 1000/55 + ( 1/55 )> ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/110 )=> ( 2 )
Для определения допустимого интервала изменения рассмотрим два случая.
Случай 1: > Очевидно, что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными.
Случай 2: < . Решаем неравенства : ( 1 )
( 1/55 )=> 155. Из этого следует, что => 1
( 2 )
( 1/110 )=> 9111. Из этого следует, что => 1
|
|
|
Объединяя результаты, полученные для обоих случаев, можно сделать вывод, что при 1000 <= <= + решение рассматриваемой задачи всегда будет допустимым, любое значение , выходящее за пределы указанного интервала, приведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных.
Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :
Запас 2-ого ресурса изменился на т. е. запас рекламного времени составит 0 + Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса напроиллюстрировано ниже.
| Уравнение | Значения элементов правой части на соответствующих итерациях | ||
| ( начало вычислений ) | 1 | 2 ( оптимум ) | |
| Z | 0 | 0 | 2455/11 |
| 1 | 1000 | 1000 | 1000/55 |
| 2 | 0 | 0 + | 91/11 + |
Найдем интервал ограничивающий величину
X1 = 1000/55 ( 50/55 )
X2 = 91/11 + ( 1/22 )
Для определения допустимого интервала изменения рассмотрим два случая.
Случай 1: > Решаем неравенства : ( 1 )
|
|
|
( 50/55 )155 из этого неравенства следует, что
Очевидно, что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке.
Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для
[ ; 2 ]
Случай 2: < . Решаем неравенства : ( 1 )
( 50/55 )155. Из этого следует, что 2
( 2 )
( 1/22 )9111. Из этого следует, что
Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для
[ 2 ; ]
Объединяя 2 случая мы получим интервал [ 200 ; 20 ]
Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли ( стоимости )
Наряду с определением допустимых изменений запасов ресурсов представляет интерес и установление интервала допустимых изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ). Следует отметить, что уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения. Поэтому любые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы. Это означает, что такие изменения могут сделать полученное решение неоптимальным. Наша цель заключается в том, чтобы найти интервалы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рассматривая каждый из коэффициентов отдельно ), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.
Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисления, положим, что удельный объем сбыта, ассоциированной с переменной
X1 изменяется от 1 до 1 + где может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 1 + X1 + 25X2
Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить все вычисления, необходимые для ( получения заключнтельной симплекс-таблицы, то последнее Z-уравнение будет выглядеть следующим образом:
| Базисные переменные | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| Z | 0 | 0 | 27/110+1/55 | 5/22-50/55 | 2455/11+1000/55 |
Коэффициенты при базисных переменных X1, X2 и остаточных я равными нулю. Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения, только наличием членов, содержащих . Коэффициенты при равны кoэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения
| Базисные переменные | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| X1 | 1 | 0 | 1/55 | -50/55 | 1000/55 |
Мы рассматриваем X1 уравнение, так как коэффициент именно при этон переменной в выражении для целевои функции изменился на.
Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при значениях , удовлетворяющих условию неотрицательности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при небазисных переменных в Z-уравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства :
27/110 + 1/55
5/22 50/55
Из первого неравенства получаем, что => 13,5, а из второго следует что <= 14. Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C1 в виде следующего соотношения : 13,5 <= <= 14. Таким образом, при уменьшении коэффициента целевой функции при переменной X1 до значения, равного 1 + ( 13,5 ) = 12,5 или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются неизменными. Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( в соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55, где 13,5 <= <= 14
X2 изменяется от 25 до 25 + где может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 25 + X2 + X1
Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной, которой поставлено в соответствие ограничение, фигурирующее в симплекс-таблице. Однако такое ограничение имеется лишь в том случае, когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 ). Если переменная небазисная, то в столбце, содержащем базисные переменные, она не будет представлена.
Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому, что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этот коэффициент. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай, когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной ) изменяется от 0 до Выполнение преобразований, необходимых для получения заключительной симплекс таблицы, приводит к следующему результирующему Z-уравнению :
| Базисные переменные | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| Z | 0 | 0 | 27/110+1/55 | 5/22 | 2455/11 |
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 142; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!