Инвариантные подгруппы бипримарных групп
Курсовая работа
Инвариантные подгруппы бипримарных групп
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Основные обозначения
2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп
3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы
Заключение
Список литературы
Введение
В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Инвариантные подгруппы бипримарных групп". Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.
Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.
Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.
В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.
Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема. Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) , и делит порядок ;
2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;
|
|
3) , 1 и делит порядок .
Теорема. Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) , , и ;
2) , , , причем , если , и , если ;
3) , , и .
Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:
1) , , и ;
2) , , и , если , , если ;
3) , , и .
Теорема. Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:
1) , , - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;
2) , , - любое натуральное число ;
3) , , - любое натуральное число за исключением , где ; , где - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для дополнительно исключаются числа , , и ; для дополнительно исключаются и .
Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.
Основные обозначения
группа | |
порядок группы | |
класс всех разрешимых групп | |
класс всех нильпотентных групп | |
является подгруппой группы | |
является нормальной подгруппой группы | |
прямое произведение подгрупп и | |
подгруппа Фраттини группы | |
фактор-группа группы по | |
множество всех простых делителей натурального числа | |
множество всех простых делителей порядка группы | |
подгруппа Фиттинга группы | |
наибольшая инвариантная -подгруппа группы | |
индекс подгруппы в группе |
|
|
Инвариантные подгруппы бипримарных групп
1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам - группам порядка , и - различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй - устанавливался следующий факт: в группе порядка при существует характеристическая -подгруппа порядка , за исключением двух случаев , и , .
Однако группа , являющаяся расширением элементарной абелевой группы порядка с помощью силовской -подгруппы из группы автоморфизмов группы , имеет порядок , и в нет неединичных инвариантных -подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе имеется пробел.
В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в . А именно, изучаются разрешимые группы порядка , где . Основным результатом является
|
|
Теорема Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) , и делит порядок ;
2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;
3) , 1 и делит порядок .
Если и - различные простые числа, и - целые положительные числа, то либо , либо . Поэтому теорема распространяется па все бипримарные группы.
Теорема Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) , , и ;
2) , , , причем , если , и , если ;
3) , , и .
Следствие Если и - нечетные простые числа и , то любая группа порядка обладает характеристической -подгруппой порядка .
Следующая теорема показывает, что границы, установленные для чисел и , являются точными и что инвариантной -подгруппы в исключительных случаях теорем (4) и (1) может и не быть.
Теорема Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:
|
|
1) , , и ;
2) , , и , если , , если ;
3) , , и .
2. Порядки силовских подгрупп полных линейных групп. На множестве натуральных чисел введем следующую функцию:
где и взаимно просто с . Из определения вытекает, что есть показатель, с которым входит в произведение . Поэтому
где - целая часть числа (см. ) и - наибольшее число, при котором .
Тогда
Лемма .
Лемма Пусть - показатель, которому принадлежит по модулю , и пусть , не делит . Тогда и только тогда делит , когда кратно . Если , не делит , то, за исключением случая , число есть наивысшая степень , которая делит .
Доказательство. Первое утверждение вытекает из свойств показателей (см. (5)). Вычислим , используя бином Ньютона:
Заметим, что
есть целое число. Действительно, и число делит произведение . Учитывая, что , из леммы получаем, что и делит . Теперь
где - целое число. Так как не делит , то выражение в скобках не делится на , за исключением случая . Лемма доказана.
Исключение , в лемме существенно; легко заметить, что при , лемма неверна. Случай был как раз и пропущен в рассуждениях работы (5).
Лемма Пусть , - нечетное число и - наименьшее целое число, при котором . Пусть . Определим число так: если, , то . если , тo - нечетное число. Тогда
1) если - нечетное число, то ; ;
2) если - четное число и , - нечетное число, то , , где , , и - нечетные числа.
Доказательство. Воспользуемся биномом Ньютона:
Если - нечетное число, то
- нечетное число. Если - четное число, то
- нечетное число.
Пусть теперь - нечетное число . Тогда
где
Ho - нечетное число, поэтому - нечетное число. Так как , если , и , если , то , где - нечетное число.
И наконец, если , . - нечетное число, то
- нечетное число. Лемма доказана.
Лемма Пусть и - различные простые числа, - показатель числа по модулю и , не делит . Пусть , или и - порядок силовской -подгруппы группы . Если , то , где - целое число, удовлетворяющее неравенству . Если , то . Здесь число определяется как и в лемме3.
Доказательство. Порядок группы известен (см.2):
Ясно, что - наивысшая степень , которая делит произведение .
Рассмотрим, вначале случай, когда . Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении лишь следующие сомножители кратны :
где определяется неравенством . Так как есть наивысшая степень , которая делит , где , не делит , то наивысшая степень , которая делит , есть .
Следовательно,
.
Пусть теперь . Тогда и . Заметим, что
Применим индукцию по . Если , то , а так как , и , то утверждение для справедливо.
Предположим, что равенство выполняется для , и докажем его для . Пусть вначале есть нечетное число, т.е. , и . По лемме (4) , - нечетное число. Поэтому . Так как , а , то утверждение для справедливо.
Пусть теперь - четное число. Тогда и . Кроме того, если , не делит , то по лемме , - нечетное число. Значит,
Лемма доказана полностью.
Лемма Пусть и - различные простые числа и - порядок некоторой -подгруппы группы . Тогда либо , либо справедливо одно из следующих утверждении:
1) , , и ;
2) , , и , если , , если ;
3) , , , и .
Доказательство. Пусть - показатель числа по модулю и , не делит . Так как - порядок силовской -подгруппы группы , то . Если , то лемма справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме в этом случае , где определяется неравенством . Допустим, что . Так как , то и - противоречие. Значит, , поэтому либо , либо .
Пусть . Тогда , а так как , то и . Если , то и - противоречие. Если , то . Кроме того, . Поэтому из условия следует, что . Получили утверждение для из пункта 2.
Теперь пусть . Тогда . Легко показать, что , поэтому . Если , то и . Отсюда следует, что
получили противоречие. Значит, , т.е. и . Поэтому . Воспользуемся неравенством , которое справедливо при . Тогда
и из следует, что и . Получили утверждение из пункта 3. Случай разобран полностью.
Рассмотрим теперь случай . Тогда . Пусть - наименьшее целое число, при котором , и пусть . Предположим, что . Тогда . Но и , поэтому и . Если , то , и . Кроме того, . Отсюда . Следовательно, при справедливо неравенство . Так как , то и
Таким образом, при всегда . Значит, надо рассмотреть лишь два случая: и .
Пусть , тогда . Непосредственно проверяется, что при . При имеем , причем . Поэтому . Получили утверждение из пункта 1.
Осталось рассмотреть . Теперь . В силовская -подгруппа имеет порядок . Так как , то и . Но , . Поэтому этот случай записан в пункте 2. Лемма доказана полностью.
Доказательство теоремы . Пусть , - упорядоченная пара простых чисел, - натуральное число и , , удовлетворяют одному из трех требований теоремы. Через обозначим элементарную абелеву группу порядка , через - силовскую -подгруппу группы . Так как есть группа автоморфизмов группы , то группа , являющаяся расширением группы с помощью группы , не имеет инвариантных -подгрупп . Покажем, что - искомая группа. Вычислим порядок группы . Из леммы следует, что причем:
1) , если и ;
2) , если , и , если , , ;
3) , если , .
В первых двух случаях непосредственно проверяется, что . Используя неравенство , которое справедливо при , в третьем случае получаем . Таким образом, и в каждом из трех случаев . Теорема доказана.
3. Доказательство теоремы . Допустим, что теорема неверна и группа - контрпример минимального порядка. Пусть - силовская -подгруппа, - силовское -дополнение в .
Обозначим через наибольшую инвариантную -подгруппу из . Подгруппа характеристическая и не имеет неединичных инвариантных -подгрупп. Предположим, что . Факторгруппа имеет порядок . Если , то - противоречие. Поэтому и для выполняется одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы. Но тогда это утверждение выполняется и для - противоречие. Следовательно, в нет неединичных инвариантных -подгрупп.
Пусть - подгруппа Фиттинга группы . Так как разрешима, то . Ясно, что . Если , то и группа удовлетворяет условию теоремы. Но для не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы, иначе оно выполнялось бы и для . Поэтому группа обладает неединичной инвариантной -подгруппой . Теперь централизует , а это противоречит теореме о том, что в разрешимых группах подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор (см. ). Таким образом, .
Допустим, что подгруппа Фраттини группы неединична. Тогда факторгруппа удовлетворяет условию теоремы. Если в имеется неединичная инвариантная -подгруппа , то по теореме Гашюца группа нильпотентна и обладает инвариантной -подгруппой - противоречие. Но для не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3. Следовательно, и все силовские в подгруппы элементарные абелевы.
Пусть , - силовская подгруппа группы . Тогда группа автоморфизмов группы является прямым произведением групп (см. ). Так как совпадает со своим централизатором в , то изоморфна некоторой -подгруппе из . Но силовская -подгруппа из имеет вид , где - некоторая силовская -подгруппа из (см. ). Поэтому изоморфна некоторой подгруппе из . По условию теоремы , поэтому существует номер такой, что .
Если , то и , есть силовская -подгруппа группы . Применяя лемму , заключаем, что , и или , и , или , и . Используя условие , нетрудно получить соответствующие оценки для числа . Теорема доказана.
4. Пример. В 1969 г.Г.Я. Мордкович на Гомельском алгебраическом семинаре С.А. Чунихина высказал предположение: в группе порядка при либо силовская -подгруппа инвариантна, либо существует неединичная инвариантная -подгруппа. Мы построим пример, опровергающий это предположение.
Напомним, что означает наибольшую инвариантную -подгруппу группы . Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа инвариантна.
Лемма Пусть , где - подгруппа группы , . Если для всех , то .
Доказательство проведем индукцией по . Для лемма справедлива. Пусть утверждение верно для и . Так как и , то и . Теперь . Отсюда следует, что . Лемма доказана.
Нам потребуется следующая конструкция Л.А. Шеметкова (см. ).
Лемма Л.А. Шеметков Для любой упорядоченной пары , различных простых чисел существует группа порядка со следующими свойствами:
1) , - показатель, которому принадлежит по модулю ;
2) не -замкнута, силовская -подгруппа из максимальна в и .
Предположение Для каждого из следующих трех случаев
1) , ;
2) , ;
3) , существует не -замкнутая группа порядка , причем и .
Доказательство. Пусть , - упорядоченная пара простых чисел, удовлетворяющая одному из требований предложения . Пусть - -группа из леммы с максимальной силовской -подгруппой, - -группа, построенная в теореме , с инвариантной силовской -подгруппой и , где . Так как не -замкнута, то и не -замкнута. Кроме того, и , . Поэтому, по лемме . Осталось показать, что в каждом из трех случаев натуральное число можно задать так, что группа будет иметь порядок , причем .
Пусть , . Тогда , а . Если , то , где , . Нетрудно проверить, что .
Пусть теперь , . Предположим, что . Тогда , и , где , a . Если в качестве выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству: , то . Допустим теперь, что . Тогда , и , где , . Так как , то существует натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Если положить , то .
Наконец, пусть , . Тогда , и , где , . Теперь в качестве надо выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда . Предположение доказано.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!