Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді :

 

Або

 

,

 

Звідки

 

 

Таким чином дане рівняння розпадається на два :

 

 

Або

 

   (1)

   (2)

 

Так як , то в (1) невідомий корінь 𝑥 може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення 𝑦 такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в цілих числах.

Відповідь:

Приклад 7.

Розв’язати в цілих числах рівняння

Розв'язок.

Очевидно, що 𝑥 та 𝑧 не можуть бути від’ємними числами, так як при

 

 

а тому  має вигляд що можливо лише при парних значеннях 𝑦. Але з умови випливає, що 𝑦 не може бути парним числом, якщо .

Якщо , то рівняння має вигляд

 

 

звідки

Нехай  Маємо

 

 

 

 

Із цього рівняння випливає, що

 або , де 𝑡 – натуральне число.

Оскільки  і оскільки 𝑦 – непарне число, то 𝑧 – парне число або .

 

Нехай  Тоді , або , звідки

, . Тому або  тобто , звідки і тому

 

Якщо ж  , то 𝑥 довільне, 𝑎 𝑦 . І так, при  ми маємо, крім тривіального розв'язку , де 𝛼 – будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:

 

 

При  . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:

 

 

Отже, рівняння має тривіальний розв'язок  де 𝛼 – будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:

 

Приклад 8.

Розв’язати в натуральних числах рівняння

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді:

 

 

або

 

Оскільки дільниками числа 7 є лише числа  то шукані числа 𝑥 та 𝑦 треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:

 

 

Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах  третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах  Друга та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах: .

 

Приклад 9.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Ні одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності

 

 

неможливі при натуральних 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛.

Легко перевірити, що . Отже, 𝑥, 𝑦 – натуральні. Із умови випливає:

або

або

 

Число  – парне, якщо

Якщо , то , а тому із умови маємо

тобто,

Таким чином,  - розв'язок даного рівняння.

Якщо ж  повинно містити парну кількість доданків, а тому 𝑥 – парне число; нехай . Тоді

 

або ,

або .

 

Якщо 𝑧 – непарне число, то  - непарне число, що можливо лише при  тобто .

Тоді з умови маємо

 

 

тому  - другий розв'язок даного рівняння.

Якщо ж 𝑧 – парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:

 

 

або ;

тому

останнє рівняння не має розв’язків, так як  ділиться на 5, а  не ділиться на 5.

Відповідь: (1, 1), (2, 3).

Приклад 10.

Розв’язати в натуральних числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

 

 (1)

 

Якщо  то , а тому , тобто ; відповідно, при  має місце нерівність

 

 (2)

 

Якщо , то , а тому ; значить, при  має місце нерівність

 

 (3)

 

Об’єднуючи нерівності (2) і(3), отримуємо, що при  ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.

Отже, при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння 𝑥 має дорівнювати 1 або 2, а 𝑦 = 1. Підстановкою впевнюємось, що лише 𝑥 = 2, 𝑦 = 1 є розв’язком даного рівняння в натуральних числах.

Відповідь: (2, 1).

Приклад 11.

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 207; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!