Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве G Rⁿ заданы функции.

y_i=f_i(x) i=1,2,3,…,m (6.1)

x=(x₁,x₂,…,x_n).Обозначим через Е множество точек x G , в которых все функции f_i i=1,2,3,…,m обращаются в нуль:

E={x: f_i(x)=0, i=1,2,3,…,m, x G} (6.2)

Уравнения

f_i(x)=0, i=1,2,3,…,n (6.3)

будем называть уравнениями связи.

Определение : пусть на множестве G задана функция y=f₀(x) .Тогда x⁽⁰⁾ E называется точкой условного экстремума (принят также термин “относительный экстремум”) функции f₀(x) относительно (или при выполнении) уравнений связи (6.3) , если она является точкой обычного экстремума этой функции , рассмотриваемой только на множестве Е.

Иначе говоря , здесь значения функции f₀(x) в точке x⁽⁰⁾сравниваются не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки , а только со значениями в точках , принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов , можно , естественно , рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

Будем предполагать , что

1) все функции f₀,f₁,f₂,…, f_m непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G ;

2) в рассматриваемой точке x⁽⁰⁾векторы f₁, f₂,…, f_m линейно независимы , т.е. ранг матрицы Якоби

f_j j=1,2,…,m

x_i i=1,2,…,n

равен m-числу ее строк (строки матрицы Якоби являются компонентами градиентов f₁, f₂,…, f_m).

Это означает , что функции системы (6.1) независимы в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾.Поскольку в n-мерном пространстве не может быть больше чем n линйено независимых векторов и ранг матрицы не может быть больше чиола столбцов , то из условия 2) следует ,что m<n.

Согласно условию 2) в точке x⁽⁰⁾ хотя бы один из определителей вида

(f₁, f₂,…, f_m)

(x_i1,x_i2,…,x_im)

отличен от нуля.Пусть для определенности в точке x⁽⁰⁾.

(f₁, f₂,…, f_m)

(x_i1,x_i2,…,x_im) (6.4)

Тогда , в силу теоремы о неявных функциях , систему уравнений (6.3) в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) можно разрешить относительно переменных x₁,x₂,…,x_m :

x₁= ₁( x₁,x₂,…,x_m)

x₂= ₂( x₁,x₂,…,x_m)

…………………… (6.5)

x_m= _m( x₁,x₂,…,x_m)

Поставив значения x₁,x₂,…,x_m, даваемые формулами (6.5) в y=f₀(x), т.е. рассмотрев композицию функции f₀ и ₁, получили функцию

y= f₀(₁( x_m+1,…,x_n),…, _m( x_m+1,…,x_n), x_m+1,…,x_n)==0( x_m+1,…,x_n) (6.6)

от n-m переменных x_m+1,…,x_n,определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) в (n-m)–мерном пространстве R^n-m.

Поскольку , согласно теореме о неявных функциях , условия (6.3) и (6.5) равносильны ,то справедливо следующее утверждение.

Точка x⁽⁰⁾является точкой (строгого) условного экстремума для функции g относительно уравнений связи (6.3) в том и только том случае , когда x⁽⁰⁾ является точкой обычного (строгого) экстремума (6.6).

Если x⁽⁰⁾– точка обычного экстремума функции g, то она является стационарной точкой этой функции:

dg (x⁽⁰⁾)=0 (6.7)

Напомним , что дифференциал – линейная однородная функция и его равенство нулю означает равенство нулю этой функции при любых значениях ее аргументов , в данном случае – при любых dx_m+1, dx_m+2,…, dx_n.Это возможно ,очевидно , в том и только том случае , когда все коэффициенты при этих аргументах , т.е. производные g/ x_m+k, k=1,2,…,n-m обращаются в нуль в точке x⁽⁰⁾.Условие (6.7) необходимо для условного экстремума в точке x⁽⁰⁾.

Таким образом , метод , основанный на решение системы уравнений (6.3) через элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно; поэтому желательно располагать методом , позволяющим найти условный экстремум не решая системы (6.3).Такой способ ,так называемый метод множетелей Лагранжа , изложен в следующем пункте .

Метод множетелей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.

В этом пункте будем предполагать , что все функции f₀,f₁,f₂,…, f_m непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G.

Теорема 6.1 : пусть x⁽⁰⁾– точка условного экстремума функции f₀ при выполнении уравнений связи (6.3).Тогда в этой точке градиенты f₁, f₂,…, f_m линейно независимы , т.е. существуют такие не все равные нулю , числа ₀, ₁, ₂,…, _m что

₀ f₀+ ₁f₁+ ₂f₂+…+ _mf_m=0 (6.8)

Следствие : если в точке x⁽⁰⁾ условного экстремума функции f₀ относительно уравнений связи (6.3) градиенты f₁, f₂,…, f_m линейно независимы , то ранг матрицы Якоби

f_j j=1,2,…,m

x_i i=1,2,…,n

равен m, то существуют такие ₁,…, _m , что в этой точке

f₀+ _i f_j=0 (6.9)

т.е. f₀является линейной комбинацией градиентов f₁, f₂,…, f_m.

В координатной форме это условие имеет вид : для любого i=1,2,…,n в точке x⁽⁰⁾

f₀ f_i

x_ix_i (6.10)

функция

F(x)==f₀(x)+ _jf_j(x) (6.11)

где числа ₁,…, _m удовлетворяют условию(6.10), называется функцией Лагранжа рассматриваемой задачи , а сами числа ₁,…, _m – множителями Лагранжа.

Условие (6.10) означает , что если x⁽⁰⁾ является точкой условного экстремума функции f₀ относительно уравнений связи (6.3) , то она является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.

F(x⁽⁰⁾)

x_ii=1,2,…,n (6.12)

Прежде , чем доказать теорему , разъясним ее смысл и покажем , как ее использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим внимание на то , что у функции вида (6.11) при произвольных числах ₁,…, _m, каждая точка ее условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции f₀, и наоборот.Мы выбираем такие значения ₁,…, _m, чтобы выполнялись условия (6.10) , т.е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой фуцнкции (6.9).

Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему n+m уравнений (6.3) и (6.8) относительно неизвестных x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾, ₁,…, _m и решить ее (если это возможно) , найдя x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾ и по возможности исключив ₁,…, _m.Сформулированная теорема утверждает , что все точки условного экстремума будут находится среди найденных таким образом точек (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾).Вопрос о том , какие же из них фактически будут точками условного экстремума , требует дополнительного исследования , об этом будет говориться в п.6.5

Доказательство теоремы . Докажем утверждение равносильное теореме : если в точке x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾), удовлетворяющей уравнениям связи

f_k(x⁽⁰⁾)=0 k=1,2,…,n (6.13)

градиенты f₀, f₁, f₂,…, f_m линейно независимы , то x⁽⁰⁾не является точкой условного экстремума.

Итак , пусть f₀, f₁, f₂,…, f_m линейно независимы и , следовательно , ранг матрицы Якоби f_j/ x_i j=1,2,…,m,i=1,2,…,n равен m+1.Тогда в матрице существует минор порядка m+1 не равный нулю.Для определенности будем считать , что он образован первыми m+1 столбцами , т.е.

(f₀, f₁, f₂,…, f_m)

(x₁,x₂,…,x_m+1) x=x⁽⁰⁾ (6.14)

Множество G–открыто , а поэтому существует такое 0₀>0, что при всех 0 0<0<0₀, куб

Q ⁿ={x: x_i-x_i⁽⁰⁾ <0,i=1,2,…,n}

лежит в G и , следовательно, на нем определены все функции f₀, f₁, f₂,…, f_m.

Зафиксируем x_m+2= x⁽⁰⁾_m+2,…, x_n=x_n⁽⁰⁾ и введем обозначения

x^*=(x₁,x₂,…,x_m+1)

Q ^m+1={x^*: x_i-x_i⁽⁰⁾ <0,i=1,2,…,m+1}

Очевидно , функции f_j(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾) j=1,2,…,m определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q^m+1.Рассмотрим отображение Ф : Q ^m+1 R^m+1, задаваемое формулами

y₁= f₀(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

y₂= f₁(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

…………………………………… (6.15)

y_m+1= f_m(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

В силу (6.15) для точки x^*(0)=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) имеем

(y₁, y₂,…, y_m+1) (f₀, f₁, f₂,…, f_m)

(x₁,x₂,…,x_m+1) x^*= x^*(0) (x₁,x₂,…,x_m+1) x=x⁽⁰⁾

а в силу (6.13) Ф(x^*(0))=(f₀(x⁽⁰⁾,0,…,0) .Поэтому (в силу теремы о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке , в которой его якобиан не равен нулю , существует такое число >0 , что на окрестности

V={y=(y₁, y₂,…, y_m+1) : y₁- f₀(x⁽⁰⁾) < , y_j< ,j=2,3,…,m}

В частности , поскольку при любом n,0<n< ,имеет место включение (f₀(x⁽⁰⁾)+n,0,…,0), то в кубе найдутся точки x`^*=(x`₁,x`₂,…,x`_m+1) и x``^*=(x``₁,x``₂,…,x``_m+1), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки окрестностиV`.

Ф(x`^*)=(f₀(x⁽⁰⁾)+n,0,…,0)

Ф(x``^*)=(f₀(x⁽⁰⁾)-n,0,…,0)

Если положим для краткости x`=(x`₁,x`₂,…,x`_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾) и x``=(x``₁,x``₂,…,x``_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾), то в координатной записи (6.15) получим

f₀(x`)= f₀(x⁽⁰⁾)+n> f(x⁽⁰⁾) , f_k(x`)=0, k=1,2,…,n , x` Q ⁿ

f₀(x``)= f₀(x⁽⁰⁾)-n> f(x⁽⁰⁾) , f_k(x``)=0, k=1,2,…,n , x`` Q ⁿ

В силу произвольности 0>0,0<0<0 , это и означает , что x⁽⁰⁾не является точкой условного экстремума.

ч.т.д.

Доказательство следствея. Если векторы f₁, f₂,…, f_m линейно независимы , то в равенстве (6.8) имеем ₀=0 так как в случае ₀=0 указанные векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми .Разделив обе части на ₀ получим равенство вида (6.9).

ч.т.д.

Пример №5.

Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0.

Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию

Ф=xyzt+ (x+y+z+t)

И составим условия

Ф_x =yzt+ =0

Ф_y =xzt+ =0

Ф_z =yxt+ =0

Ф_t =yzx+ =0

откуда

yzt=xzt=xyt=xyz

так что

x=y=z=t=c.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 282; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!