Строение числовых НОД и НОК полугрупп
Далее будем рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R + и мультипликативную полугруппу S 
R +, содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией числовой прямой.
Лемма 1. Если S связно, то S = 
или S =R +.
Доказательство. Пусть S связное множество в R +. Тогда S является промежутком. Поскольку 
и 
, то 
. Если в S нет элемента c > 1, то 
. В противном случае числа 
( 
N) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то 
для всех 
N. Отсюда 
R +.
Лемма 2. Если 
несвязно, то 
.
Доказательство. Предположим, что 
.Тогда в силу несвязности 
существуют такие числа 
, что 
и 
. Так как 
, то 
. Тогда 
. Полученное противоречие завершает доказательство.
Лемма 3. Если 
, то 
или =R +.
Доказательство. Очевидно, - полугруппа. Пусть 
и 
. Тогда существует элемент 
. Докажем, что 
. Возьмем произвольное 
. Пусть натуральное N таково, что 
. Тогда из 
следует 
. Отсюда 
. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:
1) (0,с) 
S для любого 
,
2) если 
, то и 
для любого 
.
Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S, то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS¹Æ.Предположим, что (0,c) 
S для некоторого 
. Не теряя общности, будем считать, что 
. Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s 
[0, 1]\S. Возьмем в S ненулевой элемент 
и положим b=as 
S . Пусть d =НОД(a , b). Поскольку 0<s<1, то sn 
0 при n 
. Тогда sN < c для некоторого натурального N, и, значит, sN S. По свойству 8, пункт (3), НОД(a / d , b / d)=1. Поскольку b / d:a / d=s 
S, то элемент a / d необратим в S. Очевидно, необратимым является и (a / d)N. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД((a / d)N, (b / d)N)=1. Из (b / d)N:((a / d)N=sN S следует, что НОД((a / d)N, (b / d)N)=(a / d)N. Значит, элемент (a / d)N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с) 
S для любого 
.
|
|
|
2) Если 
, то заключение справедливо. Пусть 
и 
. Тогда по лемме 3 существует s 
. Предположим, что 
для некоторого с >1. Возьмем в S элемент 
и положим b=as S . Поскольку s >1, то sn +¥ при n . Следовательно, sN>c для некоторого натурального N, и, значит, sN S. Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: 
для любого 
.
Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и 
, то S нульмерно.
Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале 
, где 
, есть точки, не принадлежащие S. Доказывая от противного, предположим, что [a,b] 
S для некоторых . Возможны два случая.
Случай 1. Пусть 0<a< 
. Докажем, что найдется n0 N, для которого a 
b 
. В самом деле, допуская, что b 
< a 
для всех n N и, переходя в неравенстве b 
< a к пределу при n 
, получили бы b 
a < b. Откуда b 
> a 
для всех натуральных n > n0. Тогда 
что невозможно по лемме 4.
|
|
|
Случай 2. Пусть 
. Возьмем такое число с > a, чтобы 1<c<b. Рассуждая, как и в случае 1, получаем c 
b 
для некоторого n0 N. Тогда 
что также невозможно по лемме 4.
Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и 
. Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U, что 
. Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a и b 
, что 
. Если 
, то это и есть открыто-замкнутое множество U. Пусть левее s в интервале 
нет точек множества S, а правее – есть, и точка с - одна из них. По доказанному выше существует точка 
, такая, что 
. В этом случае 
– искомое открыто-замкнутое множество U. Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале есть точки множества S, а правее нет, и случай, когда интервал содержит точки из S и справа и слева от s. Предложение доказано.
С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.
Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих классов:
1. S связно.
2. S нульмерно, замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S .
3. S нульмерно, не замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S .
|
|
|
4. Точка 0 изолирована в S.
Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы 
, которые являются связными множествами. Пусть 
несвязно. Если 
=Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент 
, то 
для любого 
N и последовательность 
сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка для S, множество при этом может быть как замкнутым в R +, так и не замкнутым. Предложение доказано.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 157; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!