Бумага офсетная. Офсетная печать. Усл.печ.л.3,19

КИНЕМАТИКА

Задача К1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0–К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями , , где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Таблица К1

Номер условия
Номер условия	рис. 0 – 2	рис. 3 – 6	рис. 7 – 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ =1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость указана непосредственно на рисунках, а зависимость дана в табл. К1 (для рис. 0–2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7–9 в столбце 4). Как и в задачах С1–С5, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ =1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

; .

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

;

(х, у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории, построить траекторию, указать положение точки М на траектории в заданный момент времени t₁ =1 с; для данного момента времени найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории; построить векторы скорости и указанных ускорений на рисунке.

Решение 1. Для определения уравнения траектории надо из заданных уравнений движения точки исключить время t. Поскольку время t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

, (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

, .

С учетом выражений (1) получаем

. (2)

Отсюда окончательно получаем уравнение траектории точки М

Следовательно точка М движется по параболе.

Строим параболу (2) на рис. К1.

Находим координаты точки М в заданный момент времени t₁= =1 с.

см; см.

Указываем точку М (2,6; 1,76) на рис. К1.

2. Скорость точки найдем по её проекциям на оси координат:

; ;

При t₁ =1 с

см/с, см/с, см/с (3)

Вектор скорости на рис. К1 строим по его проекциям. Вектор направлен по касательной к траектории в точке М.

3. Аналогично найдем ускорение точки М:

; ;

При t₁ =1 с

см/с², см/с², см/с². (4)

Вектор ускорения на рис. К1 строим по его проекциям. Вектор направлен в сторону вогнутости траектории в точке М.

4. Касательное ускорение точки найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

; тогда . (5)

При t₁ =1 с см/с².

Строим вектор на рис. К1, проектируя вектор ускорения на касательную М t (на направление вектора скорости ).

5. Нормальное ускорение точки . При t₁ =1 с

см/с².

Строим вектор на рис. К1, проектируя вектор ускорения на направление нормали n (нормаль n скорости и направлена во внутрь вогнутости траектории в точке М).

6. Радиус кривизны траектории . Подставляем в это выражение ранее найденные значения, получим, что при t₁ =1 с

см.

Ответ: см/с, см/с², см/с², см/с², см.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0–К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁ =2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 – r₂ =6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 – r₃ =1 2 см, R₃ = 16 см. На ободах колес расположены точки А, В, и С.

Номер условия	Дано	Найти
Номер условия	Дано	скорости	ускорения
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

В столбце “Дано” таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где – закон вращения колеса 1, – закон движения рейки 4, – закон изменения угловой скорости колеса 2, – закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде φ выражен в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для , и – вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в таблице в столбцах "Найти" скорости ( – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел ( – скорость груза 5 и т. д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления имеет у каждого колеса одну и ту же величину, а когда два колеса связаны ременной передачей, то все точки ремня и, следовательно, точки, лежащие на ободе каждого из этих колес, имеют в данный момент времени численно одинаковые скорости; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами

и колесо 3 радиуса

, скрепленное с валом радиуса

, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону

Дано: R₂ = 6 см, r₂ = 4 см, R₃ = 8 см, r₃ = 3 см, (s – в сантиметрах, t - в секундах), А – точка обода колеса 3, t₁ = 3 с.

Определить: в момент времени t = t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса ), через , а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ), – через .

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес, как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим её скорость

. (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то или . Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, или . Из этих равенств находим

, . (2)

Тогда для момента времени t₁ = 3 с получим рад/с.

3. Определяем . Так как , то при t₁ = 3 с будет см/с².

4. Определяем . Учитывая второе из равенств (2), получим . Тогда при t₁ = 3 с будет рад/с².

5. Определяем . Для точки А , где численно . Тогда для момента времени t₁ = 3 с будем иметь:

см/с², см/с²,

см/с².

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Ответ: рад/с, см/с²; рад/с², см/с².

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0-К3.7) или же из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точка O находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно: l₁= 0,4 м, l₂ =1,2 м, l₃ =1,4 м, l₄=0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0 – 4) или в табл. К3б (для рис. 5 – 9); при этом в табл. К3а ω₁ и ω₂ – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах "Найти".

Таблица К3а (к рис. К3.0–К3.4)

Номер условия	Углы					Дано		Найти
Номер условия	α°	β°	γ°	φ°	θ°	ω₁,	ω₂,	точек	ω звена	а точки	ε звена
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 90 30 60 30 90 90 0 60 30	60 120 60 150 30 120 150 60 150 120	30 150 30 150 60 120 120 60 120 150	0 0 0 90 0 90 90 0 90 0	120 30 120 30 150 60 30 120 30 60	6 - 5 - 4 - 3 - 2 -	- 4 - 5 - 6 - 2 - 8	В, Е А, Е В, Е А, Е D, Е А, Е В, Е А, Е D, Е А, Е	D Е АВ АВ D Е АВ АВ D Е D Е АВ D Е	В А В А В А В А В А	АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9– против хода часовой стрелки и т. д.).

Таблица К3б (к рис. К3.5–К3.9)

Номер условия

Углы

Дано

Найти

α°

β°

γ°

φ°

θ°

ω₁,

ε₁,

, м/с

а_В, м/с²

точек

ω звена

а точки

ε звена

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

120 0 60 0 30 90 0 30 90 60

30 60 150 150 120 120 150 120 120 60

30 90 30 30 120 90 90 30 120 60

90 0 90 0 0 90 0 0 90 90

150 120 30 60 60 60 120 60 150 30

2 - 3 - 4 - 5 - 6 -

4 - 5 - 6 - 8 - 10 -

- 4 - 6 - 8 - 2 - 5

- 6 - 8 - 10 - 5 - 4

В, Е А, Е В, Е А, Е В, Е D, Е В, Е А, Е В, Е D, Е

АВ D Е АВ АВ D Е D Е D Е АВ D Е АВ

В А В А В А В А В А

АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение – от точки B к b (на рис. 5–9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определении; ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ); В – точка, ускорение в которой нужно определить (если точка В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: α = 60°, β = 150°, γ = 90°, φ = 30°, θ =30°, А D = D В, l₁=0,4 м, l₂ =1,2 м, l₃ =1,4 м, ω₁ = 2 рад/с, ε₁ = 7 рад/с² (направления ω₁ и ε₁ – против хода часовой стрелки).

Определить: .

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б).

2. Определяем . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня п направление . По данным задачи, учитывая направление ω₁ можем определить ; численно

м/с; . (1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и м/с. (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка , лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС . Вектор будет перпендикулярен отрезку C₃D, соединяющему точки D и , и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

. (3)

Чтобы вычислить C₃D и С₃В, заметим, что прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60°, и что С₃В=АВsin30°= = 0,5AB = BD. Тогда является равносторонним и C₃B = C₃D. В результате равенство (3) дает

м/с; . (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню , вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда восставляя из точек Е и О перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С₂. Вектор будет направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что = , откуда . Составив теперь пропорцию, найдем, что

, м/с. (5)

4. Определяем ω₂. Так как МЦС стержня 2 нам известен (точка C₂) и

м, то рад/с. (6)

5. Определяем Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить , где численно

м/с²; м/с². (7)

Вектор направлен вдоль AO₁, а – перпендикулярно AO₁; изображаем эти векторы на чертеже.

Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор будет параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и

Для определения воспользуемся равенством

. (8)

Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно . Найдя ω₃ с помощью построенного ранее МЦС C₃ стержня 3, получим

рад/с, и м/с². (9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (3), неизвестны только численные значения и ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить , спроектируем обе части равенства (8) на направление АВ (ось x), перпендикулярное к неизвестному вектору . Тогда получим

. (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

м/с². (11)

Так как получилось , то, следовательно, вектор имеет направление, показанное на рис. К3б.

6. Определяем . Чтобы найти , сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось y). Тогда получим

. (12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что м/с² указывает, что направление противоположно показанному на рис. К3б. Теперь из равенства получим

рад/с².

Ответ: м/с, м/с, рад/с, м/с², рад/с².

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0–К4.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К4.5–К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону , заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку O (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения OO₁, лежит в плоскости пластины (пластика вращается в пространстве).

Таблица К4

Номер условия	Для всех рисунков	Для рис. 0–4	Для рис. 5–9
Номер условия	Для всех рисунков	а, см	h
0		12	R
1		16
2		10	R
3		16	R
4		8	R
5		20	R
6		12
7		8	R
8		10	R
9		20

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0–4) или по окружности радиуса R (рис. 5–9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0–4 и для рис. 5–9; там же даны размеры а и h. На рисунках точка M показана в положении, при котором >0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Указания. Задача К4 - на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t₁ = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. 5–9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

Пример К4. Шар радиуса R (рис. К4, а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону (положительное направление отсчета угла показано на рис. К4, а дуговой стрелкой). По дуге большого круга («меридиану») ADB движется точка М по закону ; положительное направление отсчета расстояния s от A к D.

Дано: м, , ( – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить: и в момент времени t₁ = 1 с.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге относительным ( – относительная траектория точки), а вращение шара – переносным движением. Тогда абсолютная скорость , и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

, , (1)

где в свою очередь, .

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1.Относительное движение. Это движение происходит по закону

. (2)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t₁ = 1 с, получим

Тогда или . Изображаем на рис. К4, а точку в положении, определяемом этим углом (точка М₁).

Теперь находим числовые значения :

, , ,

где – радиус кривизны относительной траектории, то есть дуги . Для момента времени t₁ = 1 с, учитывая, что , получим:

м/с, м/с², м/с². (3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор направлен к центру С дуги . Изображаем все эти векторы на рис. К4, а. Для наглядности приведен рис. К4, б, где дуга совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение переносного вращения: , и при t₁ = 1 с

рад/с, рад/с². (4)

Знаки указывают, что при t₁ = 1 с направление совпадает с направлением положительного отсчета угла , а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4, а соответствующими дуговыми стрелками.

Для определения и находим сначала расстояния h точки М₁ от оси вращения. Получаем м. Тогда в момент времени t₁ = 1 с, учитывая равенства (4), будем иметь:

м/с, м/с²,

м/с². (5)

Изображаем на рис. К4, а векторы и с учетом направлений ω и и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между векторами и осью вращения (вектором ) равен 60°, то численно в момент времени t₁ = 1 с [см. равенства (3) и (4)]

м/с². (6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω, то есть по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление можно найти, учтя, что . Изображаем вектор на рис. К4а.

Теперь можно вычислить значения и .

4. Определение . Так как , а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. К4а), то в момент времени t₁ = 1 с

м/с.

5. Определение . Вектор слагается из следующих векторов: . Для определения проведем координатные оси М₁ху z (см. рис. К4а) и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на проведенной оси х, а векторы расположены в плоскости дуги , то есть в плоскости М₁у z (см. рис. К4б). Тогда для момента времени t₁ = 1 с, учтя равенства (3), (5), (6), получим: