Особенности пересечения поверхностей второго порядка
Известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается кривая, равна порядку самой линии. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямых или две кривых второго порядка.
Условия, при которых кривая четвертого порядка распадается на две кривые второго порядка, могут быть сформулированы следующими теоремами:
Теорема 1. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.
В учебной литературе эта теорема известна как "теорема Монжа".
Рис. 13.3 дает представление о том, как можно определить линии пересечения конуса a и цилиндра b, описанных около сферы γ. Конус соприкасается со сферой по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок [1"2"], а с цилиндром по окружности, проецирующейся в [3"4"]. Точки пересечения этих окружностей есть точки А и В.
|
|
|
|
13.7
Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.
Рис. 13.4
На рис. 13.4 показано пересечение двух поверхностей второго порядка: эллиптического конуса a и сферы b. Поверхности a и b имеют две общие касательные плоскости d и e и соответственно две общие точки касания А и В . Поэтому по теореме 2 линия пересечения поверхностей распадется на две кривые второго порядка, расположенные в плоскостях j и h. Эти плоскости проходят через прямую АВ. Так как прямая АВ перпендикулярна плоскости проекций W, то плоскости j и h будут профильно-проецирующими. Следовательно, принадлежащие им кривые, на плоскость W проецируются в отрезки [С'" D '"] и [E '" F '"].
Следует отметить, что эти кривые будут окружностями, т.к. на сферу нельзя нанести другие плоские кривые.
Последнее обстоятельство позволяет использовать теорему 2 для решения общей задачи на определение положения плоскостей, пересекающих заданные эллиптические поверхности второго порядка по окружностям. Для этого, как и в настоящей задаче, надо в качестве второй поверхности использовать сферу, имеющую с первой поверхностью две точки соприкосновения. Тогда линиями пересечения этих поверхностей будут две окружности, положение которых и определит положение искомых плоскостей. Плоскости, параллельные найденным, будут пересекать заданную
|
|
|
13.8
поверхность также по окружностям, т.к. известно, что параллельные плоскости пересекают поверхности второго порядка по подобным кривым (2-го порядка). Так в нашей задаче любая плоскость, параллельная плоскости j или плоскости h будет пересекать эллиптический конус a по окружности.
Теорема 3. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой.
Рис. 13.5
На рис. 13.5 приведен пример, поясняющий суть теоремы 3. Возьмем окружность m, плоскость которой параллельна плоскости проекций Н. Фронтальная проекция этой окружности есть отрезок А"В". Взяв эту окружность в качестве направляющей, опишем наклонный цилиндр a и конус b с произвольной вершиной S. И цилиндр a и конус b будут эллиптическими.
|
|
|
Очевидно, что окружность m будет одной из кривой пересечения наших поверхностей. В соответствии с теоремой 3 наши поверхности должны пересечься еще по одной плоской кривой. Такой кривой будет эллипс, фронтальная проекция которого будет C " D".
Примечание
Если изложение п.п. 13.3 и 13.4 отнимет много времени, то материал п. 13.5 может быть изложен частично. В этом случае следует лишь пояснить теорему 1 (теорему Монжа), а теоремы 2 и 3 можно опустить.
Материал лекции № 13 изложен в учебнике С.А.Фролова -изд. 1978 г./ на стр. 116-118, 124-127, 131-132, 145-147.
ЛЕКЦИЯ №14
Тема лекции.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 407; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!