Пример расчетов в табличной форме
Лабораторная работа № 1
Построение уравнения парной регрессии по эмпирическим данным
Цель и задачи выполнения лабораторной работы
Лабораторная работа по дисциплине «Эконометрика» предусмотрена учебным планом специальности 080105 «Финансы и кредит» для очной формы обучения.
Целью работы является приобретение практических навыков построения эконометрических моделей парной регрессии с использованием наиболее доступного табличного процессора Microsoft Excel.
Основными задачами является: построения моделей парной регрессии, с использованием программного продукта Microsoft Excel и оценка адекватности модели.
2. Теоретические основы метода построения эконометрических моделей парной регрессии
Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:
у = а + b ·x + u (1)
где у — зависимая переменная (результативный признак);
х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор);
u –случайная компонента.
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических ŷх минимальна, т.е.
∑ ( у- ŷi )² → min.
|
|
|
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и Ь:
n · a + b ·∑x = ∑y,
a ·∑x + b ·∑x² = ∑x ·y.
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:
a = yср – b ·xср,
b = cov ( x, y ) / σ² (x)
Расчетные соотношения имеют вид:
a = yср – b ·xср,
b = ( ∑ xi· yi – n ·xср ·yср) / (∑ xi²- n (·xср)² ) (2)
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации ( R ² )
_ _
R² = ( ∑ ( ŷi - yср)² ) / ( ∑ ( yi - yср)² ) (3)
где yср – среднее значение y;
xср – среднее значение x;
ŷi – вычисленные по уравнению регрессии значения;
yi – эмпирические значения зависимой переменной.
При этом выполняется соотношение:
∑ ( yi – yср )² = ∑ ( ŷi - yср)² + ∑ (yi – ŷi)² (4)
где ∑ ( yi – yср )² - общая сумма квадратов отклонений;
∑ ( ŷi –yср)² - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
|
|
|
∑ (yi– ŷх)² - остаточная сумма квадратов отклонений.
Коэффициент детерминации может быть преобразован с учетом (4)
R² =1– ( ∑ ( ŷi – yi)² ) / ( ∑ (yi – yср)² ) (5)
Вычисление по приведенным выше зависимостям (1-5) удобно производить воспользовавшись расчетной таблицей № 1.
Таблица 1.
| № наблюдения | xi | yi | xi· yi | ŷi = a+b·xi | ( yi - ŷi)² | ( yi – yср )²
| xi² | ( xi – xср )² |
| 1 | ||||||||
| 2 | ||||||||
| ... | ||||||||
| n | ||||||||
| Сумма | ∑ xi | ∑ yi | ∑ xi· yi | ∑ ŷi | ∑(yi- ŷi)² | ∑( yi – yср )² | ∑ xi² | ∑( xi– xср )² |
| Сумма/n | _ x | _ y | - | - | - | - | - | σ² (x) |
Оценка адекватности уравнения регрессии и значимости параметров уравнения
Для оценки адекватности модели в целом используется F – критерий Фишера. По этому критерию проверяется нулевая гипотеза о статистической не значимости уравнения регрессии. Согласно общей методике проверки статистических гипотез сперва необходимо назначить уровень значимости – вероятность ошибочного решения принятия нулевой гипотезы. Эту величину назначают исходя из последствий ошибочного решения обычно в интервале (1 – 10)%. Затем вычисляют фактическое значение F – критерия (Fф).
|
|
|
Fф = (( ∑ (ŷi – yср)²/m)/(( ∑ ( ŷi – yi)² ) /(n-m-1))
где n - объем выборки;
m – число объясняющих переменных.
Критическое значение F – критерия (Fкр) можно определить пользуясь соответствующими таблицами или встроенными стандартными статистическими функциями при числе степеней свободы числителя к1= m и числе степеней свободы знаменателя к2= n-m-1. Если Fф > Fкр, то нулевая гипотеза отвергается – модель адекватна; если Fф < Fкр, то нулевая гипотеза принимается и модель может быть отвергнута. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии производится по t – критерию Стьюдента. Проверка осуществляется для каждого коэффициента при ранее принятом уровне значимости в следующей последовательности. Определяют фактическое значение t – критерия (tф).
t ф(b) = (b-0)/σ(b), при b>0 и t ф(b) = (0-b)/σ(b), при b< 0,
где σ(b) – стандартная ошибка коэффициента b.
|
|
|
σ(b) = 
((∑ ( yi - ŷi) ²)/(n-2))/ ∑( xi– xср )²)
Содержание нулевой гипотезы: коэффициент b =0.
Если tкр > tф, то принимается нулевая гипотеза и значение коэффициента следует принять равным 0. Если tкр < tф, то нулевая гипотеза отвергается и значение коэффициента принимается равным ранее вычисленному по формулам (2).
Аналогично будет производится проверка для коэффициента a уравнения. Значение стандартной ошибки определяем по формуле
σ(a) = ((∑ ( yi - ŷ i )² ∑ xi ²) /(n-2)/ n/∑( xi – x ср )²).
Содержание задания
Построить уравнение регрессии, вычислить коэффициент детерминации, воспользовавшись табличным процессором Excel в режиме непосредственных вычислений, используя форму расчетной таблицы №1 и соотношения (1-5); вычислить коэффициенты уравнения регрессии осуществить проверку адекватности модели и значимость коэффициентов уравнения регрессии для примера согласно табл.2 и индивидуального задания, содержащегося в приложении (табл.1).
В отчете по лабораторной работе должны содержаться основные расчетные соотношения, результаты вычислений по индивидуальному заданию, результаты прогноза по модели для значения объясняющей переменной (x =26), а также выводы по работе.
Пример расчетов в табличной форме
Имеются эмпирические данные зависимости прибыли (y) от стоимости основных фондов (x).
Таблица 2.
млн. руб.
| x | 512 | 180 | 250 | 490 | 110 | 430 |
| y | 185 | 77 | 92 | 147 | 59 | 162 |
Воспользовавшись таблицей 1 и расчетными соотношениями (1-4), получим таблицу 3.
Таблица 3.
| №п/п | xi | yi | xi· yi | ŷi = a+b·xi | ( yi - ŷi)² | ( yi – y ср )²
| xi² | |
| 1 | 512,0 | 185,0 | 94720,0 | 173,6 | 128,8 | 4181,8 | 262144,0 | |
| 2 | 180,0 | 77,0 | 13860,0 | 77,1 | 0,0 | 1877,8 | 32400,0 | |
| 3 | 250,0 | 92,0 | 23000,0 | 97,5 | 29,8 | 802,8 | 62500,0 | |
| 4 | 490,0 | 147,0 | 72030,0 | 167,3 | 410,1 | 711,1 | 240100,0 | |
| 5 | 110,0 | 59,0 | 6490,0 | 56,7 | 5,1 | 3761,8 | 12100,0 | |
| 6 | 430,0 | 162,0 | 69660,0 | 149,8 | 148,8 | 1736,1 | 184900,0 | |
| сумма | 1972,0 | 722,0 | 279760,0 | 722,0 | 722,6 | 13071,3 | 794144,0 | |
| сумма/n | 328,7 | 120,3 | 46626,7 | 120,3 | 120,4 | 2178,6 | 132357,3 | |
|
| ||||||||
| b = | 0,290814 | |||||||
| a = | 24,75259 | |||||||
R² = 0,944718
σ(b) = 0,035; t ф(b)=8,268;
σ(а) = 12,797; t ф(a )=1,934;
Fф =68,35; Fкр = 7,71 при уровне значимости 5% и Fкр =3,16 при уровне значимости 15%.
Условие Fф > Fкр выполняется, уравнение адекватно.
Значения tкр=2,777 при уровне значимости 5% В этом случае (tф(b)=8,268) > (tкр=2,777), а (tф(a )=1,934) < (tкр=2,777).Коэффициент a следует принять равным нулю, а коэффициент b =0,291.
При принятии уровня значимости равным 15% tкр=1,778. В этом случае оба коэффициента значимо отличаются от нуля; a =24,752; b =0,291.
Окончательно уравнение регрессии будет иметь вид:
Y =24.752 +0.291* X .
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 95; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!