Дополнительные задачи (выполняются по желанию для лучшей тренировки)

ФГБОУ ВО «ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Заочная физико-математическая школа

МАТЕМАТИКА

ЗАДАНИЕ № 2

Класс

Преобразования

Задачи на преобразования встречаются как в заданиях ОГЭ в 9 классе, так и в заданиях ЕГЭ в 11 классе.

Чтобы научиться преобразовывать алгебраические выражения, необходимо знать, прежде всего, формулы сокращенного умножения, а также уметь раскладывать квадратный трехчлен, имеющий корни, на линейные множители.

Формулы сокращенного умножения

; ;

;

Равенства 1-5 справедливы для всех действительных чисел и .

Равенство 3 эффективно применяется в виде

для неотрицательных значений и .

Если квадратный трехчлен имеет корни и , то он раскладывается на множители:

где корни находятся по известной формуле:

Внимание! Если коэффициент – четное число, то привыкните использовать более удобную формулу:

, где

Эти формулы нужно запомнить!

Например, решим уравнение

Решение: .

Кроме того, нужно научиться видеть полный квадрат (формула 1) и выделять из квадратного трехчлена полный квадрат.

Выделение полного квадрата. Очень важное и полезное умение!

Рассмотрим на примере квадратного трехчлена . Для удобства разложения вначале нужно вынести коэффициент при : . Применим формулу 1, в которой первое слагаемое есть , а удвоенное второе слагаемое есть . Следовательно, второе слагаемое есть . Теперь в скобке добавим и вычтем квадрат второго слагаемого и получим:

Представив квадратный трехчлен в такой форме, мы легко видим координаты вершины параболы:

Общее уравнение параболы выглядит следующим образом:

Это парабола , вершина которой сдвинута из начала координат в точку

Потренируйтесь в выделении полного квадрата и нахождении координат вершины параболы на следующих примерах:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Чтобы проверить, верно ли выполнено выделение, снова раскройте скобки и приведите подобные.

Рассмотрим несколько примеров из вариантов ОГЭ последних лет.

Пример 1.

В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?

1) 2) 3) 4) Ответ: 2.

Решение. , поэтому ответ 2.

Пример 2. Упростите выражение .

Решение: . Ответ: . Варианты ответа: 0,5.

Пример 3. Упростите выражение .

Решение: . Ответ: .

Варианты ответа: ; .

Пример 4. Упростите выражение и найдите его значение при . В ответ запишите найденное значение.

Решение. . Ответ: 5,2.

Пример 5. О числах а и с известно, что а > c. Какое из следующих неравенств неверно?

1) 3а > 3c 2) –2а > –2c

3) 4) 1 – а < 1 – с

Решение: Неравенства 1), 3) верны, так как при умножении верного неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, неравенство 4) верно, т.к. оно равносильно неравенству . Неравенство 2) –2а > –2c – неверно, так как при умножении верного неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, т.е., если а > c, то –2а < –2c.

Ответ: 2.

Пример 6. Упростите выражение: .

Решение:

. Ответ: .

Пример 7. Сократите дробь .

Решение: Корни числителя: х₁ = 1, х₂ = . Имеем:

. Ответ: .

Пример 8. Какие из чисел , , , являются иррациональными?

Определение. Рациональным называется число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел, т.е. это число вида

Решение: – рациональное число, – рациональное число, – иррациональное число,

– рациональное число. Ответ: .

Пример 9.

Значение какого из чисел является иррациональным:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Ответ: 3.

Пример 10. Упростите выражение .

Решение: 1) Корни трехчлена m² + m – 2: m₁ = –2, m₂ = 1.

Значит, m² + m – 2 = (m + 2)(m – 1). Тогда

2) .

Другие возможные решения.

Деление на дробь заменяется умножением на целое выражение (перевернутую дробь) и далее используется распределительное свойство (почленное умножение):

В ходе упрощения не использована возможность сокращения дроби :

Ответ: 4.

Пример 11. Упростите выражение

Решение:

Ответ: .

Пример 12. Упростите выражение .

Решение: когда в выражении встречаются корни (или дробные степени), то удобно сделать замену переменных. Положим и . Тогда искомое выражение примет вид:

Ответ: .

Пример 13. Разложите на множители: .

Решение: . Ответ: .

Пример 14. Докажите, что при любых значениях a и b справедливо неравенство: .

Решение: умножим исходное неравенство на 2 : , перенесём всё в левую часть и преобразуем её в сумму квадратов: , , то есть .

Пример 15. Докажите, что ни при каких значениях p и q выражение не может обращаться в нуль.

Решение: преобразуем исходное выражение, выделив полные квадраты:

, поэтому исходное выражение не может быть равно нулю.

Пример 16. Докажите, что при всех .

Решение: приведём к общему знаменателю левую часть неравенства: . Умножив полученное неравенство на , получим: или .

Пример 17. Упростите выражение .

Запомните важное правило: и для чисел также

Решение: , так как .

, так как .

Тогда . Ответ: .

Пример 18. Постройте график функции .

Решение: Поскольку есть дроби, то знаменатель не должен обращаться в 0.

Т.е. найдем ОДЗ: . Тогда мы можем привести дроби к общему знаменателю и сократить дробь.

Графиком является прямая с выколотой точкой (3: 6).

Домашнее задание № 1

Класс

1. Упростите выражение и найдите его значение при .

2. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a > b?

1) b – a > 0 2) b – a > 1

3) a – b< –2 4) a – b > –3 . В ответе укажите его номер.

3. Значение какого из выражений является числом рациональным?

1) 2) 3) 4) .

В ответе укажите его номер.

4. (часть 1). Упростите выражение .

1) 2) 3) 4) . В ответе укажите номер верного ответа.

5. (ГИА часть 1). Найдите значение выражения .

6. (ГИА часть 1). Для каждого выражения из первого столбца укажите равное ему выражение из второго столбца, вписав соответствующую букву в клетку таблицы: