Решение СЛУ методом Крамера.
Пусть дана система 
линейных уравнений с неизвестными
или в матричной форме 
.
Основная матрица 
такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае 
.
Умножив обе части уравнения слева на матрицу 
, получим 
. Поскольку 
и 
, то
Отыскание решения системы по формуле называют матричным способом решения системы.
Матричное равенство запишем в виде
,
т.е.
.
Отсюда следует, что
Но 
, есть разложение определителя
по элементам первого столбца. Определитель 
получается из определителя 
путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Итак, 
.
Аналогично: 
, где 
получен из 
путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; 
, …, 
.
Формулы
, 
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система 
линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом либо по формулам Крамера 
.
Пример. Решить систему 
.
Решение: 
, 
, 
.
Значит, 
, 
.
Системы линейных однородных уравнений.
Пусть дана система линейных однородных уравнений
Очевидно, что однородная система всегда совместна 
, она имеет нулевое(тривиальное) решение 
.
|
|
|
Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг 
ее основной матрицы был меньше числа 
неизвестных, т. е. 
.
Доказательство.
Необходимость. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, 
. Пусть 
. Тогда один из миноров размера 
отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: 
, 
, 
. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то .
Достаточность. Пусть . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения.
Пусть дана однородная система линейных уравнений с неизвестными
Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с 
неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. 
.
Если система имеет ненулевые решения, то . Ибо при система имеет только единственное, нулевое решение. Если же , то ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. . И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.
|
|
|
Пример. Решить систему 
.
Решение: 
, 
, 
.
Так как , то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их
, 
.
Стало быть, 
, 
- общее решение.
Положив 
, получаем одно частное решение: 
, 
, 
.
Положив 
, получаем второе частное решение: 
, 
, и т. д.
Теорема Кронекера-Капелли.
Пусть дана произвольная система 
линейных уравнений с 
неизвестными
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера - Капелли.
Теорема. Неоднородная СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Доказательство. Пусть система совместна. Тогда существует такая система чисел 
, что выполняются следующие равенства:
Каждое из равенств системы 
является тождеством. Нетрудно заметить, что систему можно записать в матричном виде следующим образом:
Из равенства 
следует, что последний столбец расширенной матрицы 
есть линейная комбинация остальных столбцов этой матрицы. Это означает, что ранг матрицы равен рангу матрицы 
: 
.
Обратно: пусть теперь 
. Отсюда следует, что последний столбец матрицы есть линейная комбинация остальных столбцов этой же матрицы. Значит, справедливо равенство ; его можно записать в виде системы . Из следует, что упорядоченная система чисел является решением системы 
, т.е. система - совместна. Теорема доказана.
|
|
|
Замечание 1. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Замечание 2. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 315; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!