Естественный способ задания движения точки
Естественным способом задания движения пользуются в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траектория является прямой линией, то движение точки называется прямолинейным, а если кривой линией – то криволинейным. 
Координатный способ задания движения точки
В этом случае положение движущейся точки в пространстве определяют тремя ее декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы (рис. 41). При движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени, т.е. уравнения движения получают в виде
, 
, 
.
При координатном способе задания движения точки траектория в непосредственном виде не дается, но может быть получена из уравнений движения. Исключая из уравнений движения время, получаем два соотношения между координатами 
, которые определяют линию, описываемую в пространстве движущейся точкой, т.е. ее траекторию.
При движении точки в плоскости можно пользоваться не только декартовыми координатами. В этом случае можно ввести в рассмотрение полярные координаты (рис. 42).
Положение точки в этом случае будут определять полярными координатами 
и 
, т.е. уравнения движения точки вполярных координатах имеют вид 
.
Векторный способ задания движения точки
|
|
|
В этом случае положение точки в пространстве определяется только радиусом – вектором, проведенным из начала декартовой системы координат (рис. 43). Уравнение движения в этом случае имеет вид
.
25 Как определяется скорость точки при векторном, координатном и естественном
Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения
Пусть точка за время переходит из положения М в положение М1, двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4) называется вектором перемеще-ния. - средняя скорость.
Например, вектор по хорде М М1. если уменьшать промежуток времени , то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной.
Рис. 1.4
откуда 
(1.6)
Направлен вектор скорости по касательной к траектории.
Определение ускорения:
Пусть в положении М скорость , а в положении М1 (через время ) скорость . Приращение скорости (рис. 1.5).
Среднее ускорение:
Ускорение в данный момент
откуда 
(1.7)
Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.
Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
|
|
|
при координатном способе задания движения:
(а)
с другой стороны:
(б)
Сравнивая (а) и (б) находим:
; 
; 
(1.8)
т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.
Величина скорости:
(1.9)
направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).
(1.10)
Аналогично ищем ускорения:
Сравнивая (в), (г), (д) находим:
(1.11)
Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат.
Величина ускорения:
(1.12)
Направляющие косинусы:
(1.13)
Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения
Пусть за время точка переместилась из положения М в положение М1, совершив перемещение (рис. 1.17).
величина скорости точки:
(1.14)
Направлена скорость по касательной к траектории:
Найдем ускорение точки.
Пусть в положении М точка имеет скорость (рис. 1.8).
Полное ускорение точки будет:
|
|
|
Обозначим угол между касательными через (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения на касательную и нормам п.
Найдем эти пределы, учитывая, что при одновременно и и .
где ? - радиус кривизны траектории в данной точке.
Подставив эти значения в ап получим:
Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости - при замедленном) и характеризует изменение величины скорости.
Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.
26 Ускорение точки
Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости. В системе СИ ускорение измеряется в м/с2.
a) Определение ускорения при векторном способе задания движения.
Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + Dt находится в положении М(t + Dt) и имеет скорость V(t + Dt) (см. рис. 2.9).
Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения
|
|
|
Средним ускорением 
за промежуток времени Dt называется отношение изменения скорости 
к Dt , т.е.
.
Предел при Dt ® 0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t
. (2.11)
Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.
б). Ускорения при координатном способе задания движения.
Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:
.
Учитывая, что производные от единичных векторов 
равны нулю, получаем:
. (2.12)
Вектор 
может быть выражен через свои проекции:
. (2.13)
Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.
, 
, 
.
Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:
, 
, 
, 
. (2.14)
в). Ускорение точки при естественном способе задания движения
Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.
Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.
Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М1 секущую ММ1.
Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки
Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ1 при стремлении точки М1 к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой 
.
Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М1. Перенесем вектор 
в точку М (рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую через эту точку и векторы и . Повторяя процесс образования аналогичных плоскостей при стремлении точки М1 к точке М, мы получаем в пределе плоскость, называемую соприкасающейся плоскостью.
Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости
Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью(рис. 2.12).
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 1166; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!