Построим вариационный ряд. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

Задание 1.

На складе магазина имеется 15 коробок мороженого, 5 из них шоколадного. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 коробок мороженого окажутся 2 шоколадного.

Решение:

Для вычисления события A воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A.

В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 5 коробок из 15, то есть , а общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 2 коробки шоколадного мороженого из 5, то есть . То есть:

Задание 2.

В коробке конфет «Ассорти» находятся шоколадные конфеты с 4 видами начинок: «крем-брюле» – 50 %, с орехами – 20 %, с ликером – 20 %, «пралине» – 10 %. Какова вероятность того, что взятая наудачу конфета окажется с ликером или орехами?

Решение:

В коробке согласно условию лежит 20% конфет с ликером и 20% конфет с орехами. У нас есть только один шанс выбрать конфету, которая может оказаться с любой из начинок. Если предположить, что вероятность того, что мы вытащим конфету крем-брюле равна 50%, то бишь 0,5, с орехами равна 20%, то бишь 0,2, с ликёром равна 20%, то бишь 0,2, с пралине равна 10%, то бишь 0,1. Учитывая, что нам нужно найти вероятность того, что взятая наудачу конфета окажется с ликером или орехами, то используя формулу сложения вероятностей получим:

Задание 3.

Макаронные изделия изготавливаются на трех хлебозаводах. Первый завод производит 45 % общего количества макаронных изделий, второй – 40 %, третий – 15 %. Продукция первого завода содержит 70 % изделий высшего сорта, второго – 80 %, третьего – 81 %. В магазины поступают макаронные изделия со всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленные в магазине макаронные изделия окажутся высшего сорта?

Решение:

В нашем случае мы имеем три несовместимых события. Рассмотрим следующие события:

Согласно условиям, вероятность появления событий равны:

Найдем вероятности появления отдельного события:

Используя формулу про полную вероятность имеем:

Задание 4.

В среднем 30 % изделий, выпускаемых предприятием, высшего сорта. Найти вероятность того, что среди 800 окажется не менее 5 и не более 280 изделий высшего сорта.

Решение:

За условием задачи:

Для подсчета вероятности воспользуемся Интегральной теоремой Муавра – Лапласа:

, де – функция Лапласа, значение аргумента - .

Найдем и :

Значение аргументов берем с интегральной таблицы Лапласа:

В конечном итоге имеем:

Задание 5.

Для заданной случайной величины построить ряд распределения; найти функцию распределения и построить ее график; вычислить характеристики M , D , σ . На зачете студент получил 3 задачи. Вероятность решить каждую задачу равна 0,4. Случайная величина ξ – число решенных задач.

Решение:

Для того, чтоб найти закон распределения воспользуемся биноминальным распределением:

Имеем закон распределения случайно величины:

	0	1	2	3

Функция распределения .

Задание 6.

Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей . Требуется определить постоянную C и найти функцию распределения ) ; построить графики ) и ; вычислить M , D , σ ,

Решение:

Чтоб найти неизвестный параметр используем условие нормирование для непрерывной величины:

Тогда, используя условие нормирования для непрерывной величины:

Тогда функция распределения будет иметь вид:

График функции ; будет иметь вид:

Тогда плотность распределения будет иметь вид:

График функции будет иметь вид:

Рассчитаем числовые характеристики распределения:

Вероятность того, что значение будет заключено в интервале:

Задание 7.

Для исходной выборки:

а) определить вариационный ряд и размах выборки;

б) построить простую статистическую таблицу и полигон частот;

в) построить интервальную таблицу и гистограмму;

г) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

д) найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию.

Определялась жирность коровьего молока от 15 коров. Были получены следующие результаты (%): 3,68; 3,66;3,76; 3,78; 3,94; 3,88; 3,86; 3,88; 3,94; 4,00; 3,90; 4,18; 3,96; 4,35; 3,70.

Решение:

Построим вариационный ряд. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки .Определим размах выборки:

Статистическое распределение исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:

Построим полигон частот:

Рисунок 1. Полигон частот.

Построим интервальное распределение. Для этого определим с помощью формулы Стэрджесса количество интервалов:

Ширина интервала:

Тогда границы интервала будут:

Группы	Середина интервала	Кол-во, f_i
3.66 - 3.8	3.73	5
3.8 - 3.94	3.87	6
3.94 - 4.08	4.01	2
4.08 - 4.22	4.15	1
4.22 - 4.36	4.29	1
Итого		15

На основе интервального распределения построим гистограмму частот:

Рисунок 2. Гистограмма частот.

Найдем и построим функцию и график эмпирической функции распределения:

Функция распределения F(X).

F(x≤3.73) = 0

F(3.73< x ≤3.87) = 0.333

F(3.87< x ≤4.01) = 0.4 + 0.333 = 0.733

F(4.01< x ≤4.15) = 0.133 + 0.733 = 0.867

F(4.15< x ≤4.29) = 0.0667 + 0.867 = 0.933

F(x>4.29) = 1

Соответственно график будет иметь вид:

Рисунок 3. Эмпирическая функция распределения.

Найдем числовые характеристики распределения. Для этого построим вспомогательную таблицу:

Группы	Середина интервала, x_центр	Кол-во, f_i	x_i * f_i	\|x - x_ср\|*f_i	(x - x_ср)²*f_i
3.66 - 3.8	3.73	5	18.65	0.793	0.126
3.8 - 3.94	3.87	6	23.22	0.112	0.00209
3.94 - 4.08	4.01	2	8.02	0.243	0.0294
4.08 - 4.22	4.15	1	4.15	0.261	0.0683
4.22 - 4.36	4.29	1	4.29	0.401	0.161
Итого		15	58.33	1.811	0.387

В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюденных значений. Эта статистика называется выборочным средним.

В качестве оценки дисперсии используется статистика:

Среднее квадратическое отклонение:

В качестве оценки исправленной дисперсии используется статистика:

Оценка среднего квадратического отклонения:

Задание 8.

По корреляционной таблице найти уравнения прямых регрессий на и на . Построить корреляционное поле и прямые регрессии. Оценить тесноту линейной связи в процентах.