Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
a × b = ijkaxayazbxbybz = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =
= i (aynaz - aznay) - j (axnaz - aznax) + k (axnay - aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠
| 9 | . | ||
| 4 | 8 |
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости, называют компланарными векторами (рис. 1).
ЗАМЕЧАНИЕ
Любые два вектора всегда компланарны, поскольку существует плоскость, параллельная им или проходящая через них.
Критерий компланарности трех векторов. Если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.
Условия компланарности векторов
Условие компланарности 1. Три вектора компланарны, если они линейно зависимы.
Условие компланарности 2. векторов компланарны, если среди них не более двух линейно независимых вектора.
Условие компланарности 3. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны.
Условие компланарности 4. Если тройка векторов содержит пару коллинеарных векторов, то она компланарна.
|
|
|
В трехмерном пространстве три некомпланарных вектора и образуют базис.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 718; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!