Талант и бездарь, или о пределах статистики
Институт истории естествознания и техники
Российская академия наук
Ю. В. Чайковский
О ПРИРОДЕ СЛУЧАЙНОСТИ
Издание второе, исправленное и дополненное
ЦЕНТР СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
МОСКВА 2004
Чайковский Ю.В. О природе случайности. Монография. 2-е изд., испр. и доп. Вып. 27. «Ценологические исследования». –М.: Центр системных исследований – Институт истории естествознания и техники РАН, 2004. – 280 с.
Предлагаемая читателям монография – мировоззренческая. Опираясь на обширную библиографию, в ней рассмотрена природа случайности и вероятности с позиций алеатики, общей науки о случайном. Приведено глубокое историческое толкование ключевых терминов теории, критически оценено нормальное распределение и предельные законы, но главное – объяснён феномен случайности без вероятности и теории без предельных теорем, математический аппарат которого эмпирически определён законами (распределениями) Парето, Ципфа, Мандельброта, устойчивыми гиперболическими Н-распределениями Кудрина.
Монография предназначена для научных и практических работников всех специальностей, использующих математическую статистику. Концептуально монография особенно важна для лиц законодательной и исполнительной власти, бизнесменов и менеджеров всех уровней, профессионалов гуманитариев и технариев, принимающих (ценологические) решения по повышению эффективности больших систем в условиях неопределённости и неполноты информации и сталкивающихся с невозможностью ориентироваться на среднее (математическое ожидание) из-за большой ошибки (бесконечной дисперсии).
|
|
|
Рис. 19. Библ. 296
ISBN 5-901271-20-3
Лицензия № 69-290
© Чайковский Ю.В., 2004.
© Кудрин Б.И. О втором издании, 2004.
Оглавление
Предисловие редактора серии.................................................................................. 7
Предисловие............................................................................................................................. 11
Введение................................................................................................................................... 13
0-1. Этот загадочный полет монеты................................................................................ 13
0-2. Талант и бездарь, или о пределах статистики.......................................................... 14
0-3. Случайности бывают разные....................................................................................... 16
0-4. Случайность и алеатика............................................................................................... 18
0-5. Случайность и вероятность......................................................................................... 19
0-6. Вероятностями не обойтись........................................................................................ 22
0-7. Нужна история.............................................................................................................. 23
0-8. Неясность исходных позиций теории вероятностей................................................ 25
|
|
|
Часть первая. Становление алеатики.......................................................... 28
Глава 1. Рождение проблемы................................................................................................ 28
1-1. Смыслы слова "случайность" у греков......................................................................... 28
1-1.1. Случайность у греческих врачей........................................................................... 31
1-2. Случайность и вероятность у греческих философов................................................. 32
1-3. Анализ случайности, не требующий понятия "вероятность".................................. 34
1-4. Случайность у римлян.................................................................................................... 36
1-5. Первые количественные подходы................................................................................ 38
Глава 2. Что такое вероятность........................................................................................... 40
2-1. Ранние смыслы термина "вероятность".................................................................... 41
2-2. Кардано, ученый игрок................................................................................................... 42
2-3. Вероятность у Паскаля................................................................................................. 45
2-4. Вероятность у Лейбница.............................................................................................. 47
2-5. Четыре понимания вероятности у Якоба Бернулли.................................................. 49
|
|
|
2-5.1. Равновозможности и их исчерпание..................................................................... 51
2-6. Частота и вероятность – от Граунта к Мизесу...................................................... 52
2-7. Вероятность как тенденция........................................................................................ 56
2-7.1. Тенденция при падении монеты............................................................................ 57
2-8. Вероятность как мера.................................................................................................. 59
2-9. Алгоритмическая вероятность и нестандартный анализ....................................... 60
2-9.1. Первое реальное обоснование ТВ......................................................................... 62
2-10. О логической вероятности......................................................................................... 63
Глава 3. Закон больших чисел и нормальное распределение....................................... 64
3-1. Кардано: первые аксиомы и длинный тупик для теории........................................... 64
3-2. Якоб Бернулли: симметрия множества случайных событий................................... 65
3-3. В чем смысл "золотой теоремы"................................................................................. 67
3-3.1. Независимость без случайности............................................................................ 69
3-4. Нормальный закон и центральная предельная теорема............................................ 71
3-5. Суммирование случайных величин................................................................................ 73
|
|
|
3-6. От Лапласа к Пуассону – изменение смысла вероятности...................................... 76
3-7. Последующие интерпретации вероятности и ЗБЧ................................................... 77
3-8. Место нормального закона........................................................................................... 79
Глава 4. Вероятностная случайность и симметрия....................................................... 80
4-1. Реализационная симметрия и равновозможность..................................................... 80
4-2. Краткий анализ стохастичности............................................................................... 82
4-3. Рулетка Пуанкаре и вероятность как мера............................................................... 85
4-4. От рулетки Пуанкаре к странным аттракторам................................................... 87
4-4.1. Второе обоснование теории вероятностей........................................................... 89
4-5. Симметрия по Борелю и случайность по Ламберту.................................................. 90
4-5.1. Третье обоснование теории вероятностей............................................................ 91
4-6. Тройная симметрия........................................................................................................ 92
4-7. Неустойчивость частот как нарушение тройной симметрии............................... 95
4-7.1. Пример неустойчивой частоты: ветвящийся процесс......................................... 96
4-8. Вероятность реальных событий и конструктивность............................................ 97
Часть вторая. Нынешние проблемы алеатики....................................... 99
Глава 5. Алеатика и познавательные модели.................................................................. 99
5-1. Картины мира и познавательные модели................................................................... 99
5-1.1. Вокруг познавательных моделей......................................................................... 100
5-2. Какие бывают познавательные модели.................................................................... 102
5-2.1. Контур будущей ПМ............................................................................................. 106
5-3. Становление статистической ПМ........................................................................... 107
5-3.1. Вероятность солнечного восхода........................................................................ 111
5-3.2. Капитализм против рынка?.................................................................................. 112
5-4. Познавательные модели случайности....................................................................... 114
5-5. Системная ПМ и экстремальность нормального распределения........................... 116
5-6. Аксиома эквивалентности и пределы ее действия.................................................. 118
5-7. Взаимодополнительность частоты и меры............................................................. 120
Глава 6. Динамический хаос, фракталы и алгоритмы.................................................. 122
6-1. Новая математика для старой науки....................................................................... 122
6-2. Фрактальный хаос....................................................................................................... 126
6-3. Перемешивание, независимость и фракталы........................................................... 127
6-4. Элементарная ячейка пространства........................................................................ 129
6-5. Континуум в различных пониманиях.......................................................................... 130
6-5.1. Континуум, случайность и дополнительность.................................................. 133
6-6. Случайность как число................................................................................................ 136
6-7. Случайность по Ламберту и по Колмогорову........................................................... 137
6-8. Случайность по Колмогорову и растянутые отображения.................................. 139
Глава 7. Случайность без вероятности и теория без предельных теорем................. 141
7-1. Неустойчивость частот и распределение Коши..................................................... 141
7-2. Устойчивые распределения неустойчивых частот................................................. 144
7-3. Поиск причин гиперболичности плотностей........................................................... 147
7-3.1. Память как источник неустойчивости частот.................................................... 149
7-3.2. Неустойчивость, не связанная с памятью........................................................... 151
7-4. Краевые распределения и квази-гиперболы................................................................ 152
7-5. С предельными теоремами и без них (анализ текущих значений).......................... 154
7-5.1. Дисперсии слишком большие и слишком малые.............................................. 156
7-5.2. Многовыборочный метод..................................................................................... 157
7-6. Свободный выбор как случайность без вероятности............................................. 158
7-7. Неизмеримость без свободы выбора.......................................................................... 161
7-8. Пропенсивная случайность......................................................................................... 162
Глава 8. Случайность и разнообразие.............................................................................. 164
8-1. Типы случайных явлений.............................................................................................. 165
8-1.1. Дополнительность номотетики и идиографии.................................................. 168
8-2. Новое в выявлении типов случайностей.................................................................... 169
8-3. Инварианты и ступени случайности........................................................................ 172
8-3.1. Инварианты случайности..................................................................................... 172
8-3.2. Ступени случайности........................................................................................... 174
8-4. О математических моделях случайного.................................................................... 177
8-5. Организующая роль случайности............................................................................... 179
8-5.1. Случайность в игре............................................................................................... 181
8-5.2. Случайность и тенденции.................................................................................... 184
8-6. Эффект Шноля и диатропика случайности............................................................ 185
Глава 9. Алеатика и другие науки..................................................................................... 189
9-1. Случайность в планетной астрономии..................................................................... 189
9-2. Связь алеатики с физикой........................................................................................... 190
9-3. Связь с экономикой....................................................................................................... 193
9-4. Связь с биологией.......................................................................................................... 196
9-4.1. Систематика........................................................................................................... 197
9-4.2. Взаимодополнительность и уровни развития.................................................... 200
9-4.3. Генетический поиск.............................................................................................. 201
9-4.4. Иммуногенез.......................................................................................................... 202
9-5. Связь с лингвистикой................................................................................................... 204
9-6. О техноценозах Кудрина............................................................................................. 207
9-6.1. К обоснованию квази-гипербол.......................................................................... 211
9-7. Об эволюции.................................................................................................................. 213
9-7.1. Эволюция объектов разной природы.................................................................. 213
9-7.2. Динамика текущих значений............................................................................... 214
9-7.3. Когда эволюцию движет характер случайности............................................... 217
9-7.4. Эволюция при экологической катастрофе......................................................... 217
9-7.5. Дарвинизм, ламаркизм и номогенез о случайности.......................................... 219
Глава 10. К философии случайности................................................................................ 220
10-1. К философии вероятности....................................................................................... 221
10-1.1. Эргодичность и перемешивание....................................................................... 222
10-2. Пифагорейский корень случайного........................................................................... 223
10-3. К философии нестохастической случайности....................................................... 225
10-3.1. Импробабилизм и пропенсивность................................................................... 228
10-3.2. Спонтанность и свобода воли............................................................................ 230
10-4. Общие замечания........................................................................................................ 233
10-4.1. Несколько замечаний о преподавании............................................................. 235
Заключение............................................................................................................................. 238
Список сокращений.............................................................................................................. 242
Цитированные в книге работы Ю.В. Чайковского (в т.ч. с соавторами)................. 242
Литература.............................................................................................................................. 243
Приложения............................................................................................................................ 254
Указатели................................................................................................................................ 272
О ВТОРОМ ИЗДАНИИ
Необходимость во втором издании возникла не столько потому, что первое издание разошлось, сколько из-за обсуждения одной из докторских диссертаций моего ученика на Учёном Совете по защите диссертаций при 100 %-ной явке 20 весьма уважаемых докторов наук весьма уважаемого вуза в весьма уважаемом городе.
Один из членов Совета (цитирую по фонограмме) сказал: «Я думаю, надо ещё чистых математиков привлечь, потому что опровергнуть центральную предельную теорему Ляпунова – это утверждение очень сильное. Есть исследования, где показано, что в больших системах действует нормальный закон распределения… Вся другая статистика позволяет отстаивать фундаментальные законы, принятые Ляпуновым (реплика из зала члена Совета: 50 лет тому назад). Может быть… Я предлагаю направить её… пускай чистые математики посмотрят и скажут своё мнение. Они разбираются хорошо». Затем к дискуссии подключился ещё один член Совета. Он сказал: «Я думаю, что если это отдать математикам – они раздраконят это всё по первое число… Нет, Ляпунова не надо трогать. Это мировая величина. Просто разные бывают распределения. Это мы все признаём. И всякий раз оно своё. Это очень примитивно считать, что если статистика, то это нормальный закон. Ничего похожего. Нет никакой связи между нормальным законом и вообще статистикой. Статистика может быть и не нормальной, и какой хотите. Десятки тысяч распределений известны. Вовсе это не должно сводиться к нормальному закону со средним и дисперсией. Вовсе нет. Это всякий знает».
Вдумчивый читатель, прочитавший монографию Чайковского, вероятно, будет поражён безграмотностью членов Совета. Они оба даже и представить не могут, что данная диссертация действительно «опровергает» центральную предельную теорему Ляпунова (на самом деле диссертация использует иную область математики, ту, которой и посвящена монография Чайковского). Что касается реплики из зала о 50-х годах, то приходится сожалеть, что член Совета не различает царского Александра Михайловича Ляпунова, доказавшего свою теорему в 1901 г., и советского Александра Андреевича Ляпунова (в память второго мною были проведены специальные научные чтения): 50 лет не относятся ни к тому, ни к другому. Что касается десятков тысяч распределений, то ни один справочник не приводит даже ста. Фактически Чайковский показывает, что все распределения в пределе гауссовы или негауссовы.
Естественно, дремучая неграмотность представителей науки, каждый из которых считается и, вероятно заслуженно, крупнейшим специалистом в своей области, просто поражает. Как, оказывается, трудно поменять некоторые представления тех учёных, которые глубоко и однозначно уверены во всеобщности постулатов картины мира, нарисованной Ньютоном-Максвеллом; вероятностной картины, где можно быть уверенным в наличии математического ожидания и конечности дисперсии. Реальные процессы не сводятся только к Ньютону и Гауссу. Вступление России в постиндустриальную эпоху требует нового мышления. Именно поэтому возникла необходимость во втором издании, с приведением в нём некоторых пояснений и указателя имён, исправленного перечня выпусков «Ценологические исследования».
Б.Кудрин, Москва, 30 октября 2003 г.
Предисловие редактора серии
Выход монографии «о природе случайности» в серии «Ценологические исследования» нельзя назвать случайным. Обращаясь к античности с помощью Ю.В.Чайковского, я не вижу в этом факте случайности в смысле классической математической статистики, полагая, однако, что это «удача и судьба»: «Все человеку, Перикл, судьба посылает и случай». Не думаем ли мы, однако, что «ни одна вещь не возникает случайно, но всё со смыслом и по необходимости»?
Но эта удача – обоюдная. Что касается Юрия Викторовича, то его следует поздравить с книгой, которая, несомненно, могла бы стать бестселлером, если бы не сам предмет рассмотрения, и с тем, что сложившиеся обстоятельства позволили издать книгу в непростое для науки время. Но еще большая удача относится к развиваемым ценологическим исследованиям, внедрение которых не только в области электротехники, электроэнергетики и электрики, где я являюсь профессионалом, но и во все сферы общественной жизни и все отрасли экономики обеспечит достойное место России в условиях перехода в постиндустриальное (информационное) общество, сопровождающегося нарастающей глобализацией.
Тривиально утверждение российских политиков и социологов, что нельзя признать нормальной ситуацию, когда по минимальному потребительскому бюджету, анализировавшемуся в конце 2001 г. и определённому в среднем по стране в сумме 3456 руб., различие по регионам составило 11-12 раз.
Но что предлагается? Какую цель ставит общество перед государством? Полное равенство доходов по регионам, а в регионах – равенство доходов каждого гражданина? Равное потребление? Отмену всех и всяческих привилегий в социальной сфере, на государственных и частных предприятиях, при предоставлении услуг?
Однако если эта задача утопична теоретически, нереализуема практически и если неизбежно некоторое расслоение при любом общественном строе и форме государства, то первое: каков возможный максимальный разрыв, за которым следует ожидать социальной нестабильности с непредсказуемыми последствиями; второе: есть ли и какой уровень, который можно считать оптимальным, который и есть гарант устойчивого состояния общества, его общей эволюции в направлении повышения жизненного уровня всех членов общества; наконец, третье: каково то минимальное различие доходов, сохраняющее благоприятный инвестиционный климат для финансистов и предпринимателей, достойное России развитие науки и искусства, медицины и образования?
Эту глобальную постановку можно сузить, если обратиться к тому или другому цеху, производству, предприятию, отрасли; квартире, дому, кварталу (поселку), району, городу, региону, стране при рассмотрении, собственно говоря, того материального, из чего состоит каждое из этих образований (объектов), то есть всего установленного оборудования (техники, зданий, сооружений, сетей) как некоторого множества (ценоза) – сообщества слабосвязанных и слабо зависимых между собою изделий. Это могут быть все вещи в квартире, электродвигатели на заводе, предприятия сферы услуг в городе, организации, различающиеся по объёму выпускаемой продукции, штатам, прибыли в городе, регионе, стране.
Конкретизируем рассмотрение на примере электрического хозяйства не самого крупного завода, где установлено 60 тыс. электродвигателей. На каждый вновь поступивший электродвигатель имеется паспорт, который, с одной стороны, содержит номер, делая тем самым данную штуку-электродвигатель некоторой индивидуальностью, особостью, индивидом – особью; с другой – по основным параметрам позволяет отнести любой электродвигатель к тому или иному виду. Этот принципиально новый подход в технике позволил в начале 70-х годов (когда я руководил проектированием электрической части крупнейших предприятий чёрной металлургии, участвовал в монтаже, наладке и эксплуатации) установить закономерность, заключающуюся в некоторых ограничениях на величину разнообразия и на соотношение крупного, среднего, мелкого. В 1976 г. удалось сформулировать закон информационного отбора, который описывает механизм образования этих количественных ограничений.
Именно здесь и возникли трудности, которым собственно и посвящена монография Чайковского: «Уверенность математиков-прикладников и инженеров в применимости закона больших чисел и центральной предельной теоремы и основанной на них стандартной статистики ко всем массовым случайным явлениям почти непробиваема». Мне действительно стали «отчаянно мешать учебники теории вероятностей и математической статистики».
Разъясню, в чём существо вопроса, и с чем пришлось мне столкнуться при проектировании и строительстве двухсот крупных объектов различных отраслей экономики; при прогнозировании, нормировании, лимитировании электроэнергии по отдельным предприятиям, производствам и цехам и по отрасли в целом в 1970-1990-х годах; при разработке программ энергосбережения, системы нормативно-методической документации и Государственного плана рыночной электрификации России (ГОРЭЛ) в последние 10 лет.
Оказалось, что каждый из объектов: 1) кроме очевидных свойств, вытекающих из первой научной картины мира и позволяющих по жестким законам технических наук всё однозначно (каузально) рассчитывать; 2) кроме возможностей математической статистики, которая отражает взгляды второй научной картины мира и позволяет, построив распределение, в пределе сходящееся к нормальному гауссовому закону, рассчитать с инженерной точностью (конечной ошибкой – дисперсией) ожидаемые параметры единичных как вида техники, технологии, материала, продукции, отходов (экологического воздействия); 3) имеет неочевидные свойства: нельзя пользоваться средним (математическое ожидание теоретически отсутствует) и из-за сколь угодно большой ошибки (дисперсия теоретически бесконечна) решение в точке отсутствует.
Вернёмся к примеру из электрики. Применим схему Бернулли и наугад «вытащим» один из двигателей, который может оказаться мощностью 30000 кВт, другой – 0,25-4А мощностью 0,25 кВТ (оба они в Липецке в одном экземпляре). Так равновозможно мы можем «доставать и доставать» все 60 тыс. двигателей. Но можно ли в таком случае говорить о среднем при решении любого практического вопроса, связанного с ремонтом, определением потребной электрической энергии? В русском языке для данного случая закрепилось выражение, точно отражающее смысл явления – «средняя температура по больнице», которое инженер применяет, когда очевидно, что среднее не может быть использовано при решении конкретной задачи. Величина этого среднего, в данном случае 32,4 кВт, вообще говоря, полезна не при решении вопроса об электрической нагрузке или ремонте отдельного двигателя, а когда сравниваешь, например, один завод с другим.
Подчеркнём, что инженер имеет дело с системами трёх типов: 1) типа часов или редуктора, где каждая шестерёнка жёстко и однозначно рассчитывается; 2) массовыми явлениями, где достаточно хорошо работает математическая статистика, в пределе оперирующая математическим ожиданием и конечной дисперсией (в полном соответствии с центральной предельной теоремой и законом больших чисел). Это позволяет, например, по стандарту шить костюмы (рост) и изготавливать обувь (размер); 3) сообществами изделий – ценозами.
Вообще говоря, ценоз нельзя назвать системой в смысле Берталанфи, Винера, Эшби, Месаровича и др., так как для него отсутствует вход и выход, обратная связь, да и сам он, если и выделяем, то только конвенционно. Причём эта конвенционность, во-первых, чрезвычайно субъективирована, во-вторых, организации и быт (с территориальной, финансовой, медицинской, административной, технологической, электрической и других сторон) различаются в своих границах. Тогда мы должны считаться с характерными свойствами любого ценоза: практической бесконечностью элементов-особей его образующих (впрочем, ценологические свойства, в большой степени определяемые видовыми параметрами, начинают проявляться уже с десятков штук-особей); обязательностью видовой структуры, т.е. необходимостью сравнивать элементы-изделия не только по количественным параметрам, но и по качественным признакам; устойчивостью видового разнообразия, определяемой количественными ограничениями; невозможностью адекватного описания ценоза системой показателей (в отличие, например, от технических изделий, где паспорт достаточно объективно позволяет сделать выбор); неодинаковостью ценозов при одинаковости показателей, которые приняты за основные; направленностью техноценологического развития, исключающей обратимость.
Именно проектированием, управлением и прогнозируемым развитием таких систем (цех, производство, предприятие, подотрасль, чёрная металлургия в целом) я и занимался практически всю жизнь. Именно при этом обнаружилось различие в 10, 100 и более раз не только тех параметров, которые, на первый взгляд, легко объясняются (мощность электродвигателей, производительность по основной технологии, по стоимости строительства), но и тех, для которых существовала твёрдая уверенность, что они должны быть одинаковы (удельные расходы электроэнергии на чугун, сталь, прокат; нормы по трудоёмкости монтажа, обслуживания и электроремонта; лимиты для организаций с близкими технологическими, территориально-административными и экономическими показателями).
Во всех этих случаях, когда невозможно опираться на среднее, требовалось некоторое теоретическое обоснование принимаемых нами решений, подобное подходу при расчёте пролёта моста, выборе провода, определении расхода бензина на 100 км пути. Поскольку «академическая наука» и «высокое начальство» при рецензировании и последующем принятии директивного решения интуитивно не могут отойти от мысли, что всё можно рассчитать и пронормировать, то всякое новое решение, на порядок отличающееся от стереотипов, всегда вызывает острое неприятие.
Чайковский замечает: «за последние 80 лет исследования в разных науках показали, что распределения, похожие на гиперболы, наблюдаются на столь различных объектах, что искать им частные объяснения вряд ли стоит». Монография тем и ценна, что она со всех сторон раскрывает феномен (применяя термин Чайковского) квази-гиперболы. Это даёт возможность любому заинтересованному специалисту разобраться, наконец, где и в каких случаях встречается это удивительное явление: случайность без вероятности и теория без предельных теорем.
Перед нами – новая философия случайности, распространение которой повлечёт, конечно, изменения в преподавании теории вероятностей и математической статистики. Но не это главное. Главное – изменение мировоззрения технариев, инженеров и менеджеров различного уровня, принимающих «производственные» решения в самых различных отраслях экономики. Изменение мировоззрения должно произойти и у гуманитариев, ведь наиболее существенные черты человеческого бытия определяются негауссово (в этом, собственно, и есть «ненормальность» гениальности в отличие от обеспечивающей устойчивость средней обыденности).
И, наконец, уж совсем главное: если законодательная и исполнительная власти, деятели политики, культуры, массовых средств информации не осознбют всеобщность гиперболического Н-распределения и необходимость следования его количественным ограничениям, накладываемым реальностью на жизнь общества, то Россия медленно, с болью, кровью и унижением будет входить в постиндустриальное общество. Однако, рано или поздно, законы и закономерности Природы всё равно будут осознаны. Жаль только, что в эту пору прекрасную жить….
Б. Кудрин
21 марта 2001 г.
Предисловие
Мои занятия случайностью начались с вопроса о том, какую роль играет в биологической эволюции случайный поиск, и первые публикации появились 30 лет назад [Чайковский, 1971; 1971a; 1972]. Вскоре они привели к вопросу о том, случайны ли мутации [Чайковский, 1976; 1977], и как распределены виды организмов по родам [Чайковский, 1981]. (В те же годы роль случайности в эволюции рассматривал в широком плане палеоботаник В.А. Красилов [1979].) Меня занимала и занимает случайность как явление природы, а не как дефект измерения или феномен знания и понимания. Поэтому так называемая логическая вероятность затрагивается далее лишь как способ описания действительности, но не как способ упорядочивать свои мысли; а субъективная вероятность лишь упоминается при необходимости разграничения понятий.
Имея перед собой чисто биологическую цель, естественно было стараться избегать уклонений в иные отрасли знания, но это оказалось не всегда возможно. Дело в том, что прежние известные мне попытки решить вопрос о роли случайности в эволюции остались безуспешны именно из-за того, что их авторы брали готовый понятийный аппарат других отраслей знания, а он был неадекватным. Прежде всего это касается математического аппарата, взятого из азартных игр, физики и социальной статистики. Основанное на нем "математическое моделирование эволюционных процессов", в основном, лишь пересказывает некоторые черты биологических процессов в терминах иных наук. Это не дало, на мой взгляд, ничего существенного для понимания самого феномена эволюции. Поэтому математическое моделирование биологических процессов, за несколькими исключениями (они перечислены в гл. 9), в книге не использовано.
Вообще, я историк науки, а не математик и не статистик – ни по образованию, ни по роду занятий. Если для математиков естественно стремление двигаться в сторону усложнения известных прежде схем, то мое стремление противоположно – углубиться в простейшую схему, чтобы выяснить лежащие в ее основе допущения и круг их применимости. Поэтому математика у меня взята простейшая из возможных.
Не проводится различия между простым и усиленным законами больших чисел, между простой и строгой устойчивостью распределений, между разными видами сходимости (за исключением пп. 3-4, 7-2 и 7-4). Почти нет речи о случайных процессах, поскольку обсуждаются, в основном, те вопросы о природе случайности, которые яснее видны при исследовании отдельных испытаний и их серий. Исключение сделано для простейших марковских цепей (случайного блуждания на прямой и процесса рождения и гибели). Зато серии исследуются подробнее, чем это принято делать.
Читатель, не привыкший выходить за рамки теории вероятностей, будет, вернее всего, разочарован, не найдя традиционных для него тем, зато видя много тем, для него посторонних. Кто-то, наверное, даже бросит чтение, однако мне известны люди, ждущие именно такую книгу, и их, надеюсь, не так уж мало. В основном они – не математики, и мне приходится разъяснять необходимые понятия достаточно подробно и популярно, т.е. нестрого, за что, надеюсь, математики, дочитавшие до конца, меня извинят.
Известно мнение: “Все замечательно в теории вероятностей Колмогорова, за исключением одного темного облака ... Этим облаком является вероятностная основа квантовой механики” [Хренников, 2003, c. 6]. Тем, кто хочет погрузиться в квантовую вероятность, рекомендую книгу А.Ю. Хренникова, моя же задача — показать столь же густую тьму вне квантовой тематики. Его книга, в отличие от большинства, уделяет внимание случайности как таковой, и автор справедливо отмечает, что в действительности закон больших чисел ничего не говорит о сходимости частоты к вероятности и что случайность, понимаемая как отсутствие алгоритма, мало говорит о случайности природных явлений. Однако всюду подразумевается, что любая случайность может быть охарактеризована своей вероятностью. Цель моей книги иная.
Одна из главных линий в книге – исследование случайности, не обладающей вероятностью. Мысль о том, что огромная (может быть, основная) масса случайных явлений не обладает вероятностью, заимствованная мной из брошюры Ю.И. Алимова [1980], чужда почти всем известным мне ученым, включая математиков.
Уверенность в том, что я не занимаюсь сумасбродством, мне придавало то сочувствие к основной ее установке, которое выразили мне устно два математика, близких к философии, – Ю.А. Шрейдер и А.Н. Паршин. Тот факт, что оба далеки от теории вероятностей, нисколько не умаляет важности их мнения. Когда книга была почти готова, мне позвонил еще один математик, С.А. Иванов – он прочел мою статью и тоже одобрил данную установку. Историк науки С.С. Демидов очень помог мне, раздобыв несколько редких изданий. Мне приятно выразить всем глубокую благодарность, но Юлий Анатольевич, увы, ее уже не услышит – он в 1998 году неожиданно умер.
Особо благодарен я энтузиасту нетрадиционной статистики Б.И. Кудрину, без усилий которого книга не только не появилась бы в свет, но и вряд ли была бы написана. И его верной сотруднице Г.А. Петровой, стоически и аккуратно выполнявшей все мои просьбы.
Однако никто из них рукописи не читал, и тем самым их авторитет не может служить оправданием недостатков моей работы.
Наконец, я весьма признателен тем, кто помог мне при компьютерной подготовке текста и рисунков к печати – моей жене Н.П. Кирилловой, нашему сыну Тимофею и сотруднику ВИЕТ К.И. Алексееву.
Памяти Феликса Владимировича Широкова – Учителя,
когда-то приоткрывшего мне мир математики
Введение
Мир ли так устроен, что в глубине явлений лежат некие случайностные механизмы, или мы сами повсюду выискиваем случайности, вероятности и средние? В прошлом ходячие ответы на этот вопрос не раз менялись, а всерьез ответить на него нельзя, не выяснив, что такое случайность.
Этот загадочный полет монеты
Если вы хотите бросить монету один раз, то никто не сможет предсказать, какой стороной она упадет, но если вы бросите ее 500 раз, то любой скажет: она упадет гербом приблизительно 250 раз, поскольку вероятность выпадения герба равна 1/2. А знающий математику даже объяснит, в каком смысле понимать слово "приблизительно".
Однако почему так получается? Почему из непредсказуемых событий складывается предсказуемое? Где скрыта закономерность, не видимая ни в одном бросании, но видимая в их совокупности – в самой ли монете, в процедуре ли бросания или в свойствах больших чисел? Позже мы узнаем, что регулярность (устойчивость частот) складывается из всего вместе. Далее, обычно говорят, что непредсказуемость вызвана необозримой сложностью процесса полета монеты, но это неверно – ведь и колесо рулетки останавливается совершенно непредсказуемо, хотя движется очень просто. Непредсказуемость вызвана чем-то другим. Выяснение этих вопросов – основная тема части 1, пока же начнем с трех простых примеров.
Первый – известная игра в орлянку. Я бросаю монету и, если она упала гербом вверх, плачу вам рубль, а если цифрой, платите вы. Пусть мы хотим сыграть 500 партий. Чтобы игра не прервалась из-за нехватки денег, каждому достаточно иметь небольшую сумму (расчет показывает: это примерно 20 рублей), ибо игра симметрична, а большие уклонения очень редки. Это – типично вероятностное рассуждение, и мало кто задумывается – почему редки эти уклонения и почему мы ими можем пренебречь.
Второй пример. Если я, предложив кому-то сыграть в орлянку на крупную сумму, уроню на стол монету, не подбросив ее предварительно вверх, партнер запротестует – нет мол честной процедуры уравнивания шансов. Почему же нет? Ведь упав, монета подскочила и раз или два перевернулась. Пусть я не заметил числа оборотов и тем более не мог предугадать их, но, поскольку оборотов было мало, партнер подозревает, будто я что-то задумал. Ясно, что дело отнюдь не в дефиците случайности, а наоборот – в ее избытке: сравнительная простота траектории позволяет допустить, что я могу ею управлять, и строить различные предположения (вплоть до того, что я хочу оказать партнеру денежную помощь, не задев его самолюбие). Это – тоже вид случайности, но о вероятности здесь сказать нечего (подробнее см. п. 4-2).
Словом, случайности бывают совсем разные, и нужен какой-то способ определять, с какой из них мы в данный момент имеем дело. Этим мы займемся позже. А пока изменим правила орлянки: будем суммировать исходы — если к данному моменту выпало больше гербов, чем цифр, то рубль плачу я, если наоборот, то вы; а если поровну, не платит никто. (Как в шахматном матче: если при счете 3:1 партию выиграл второй игрок, то лидером остается первый.) В этом (третьем) примере игра осталась симметричной, однако без пятисот рублей играть в нее не садитесь — теперь значительная доля игр закончится почти полным или даже полным проигрышем одного из игроков. Точнее, в среднем в каждой пятой игре у одного из игроков останется не больше 12 рублей из пятисот, а в половине из таких игр проигрыш превысит 500 рублей. Но и в умеренных вариантах (один из них показан на обложке) один из игроков лидирует почти всё время.
Дело в том, что в первом варианте игры исходы независимы, частота каждого исхода устойчива (гербы составляют около половины всех исходов), и можно говорить о вероятности выигрыша, к которой эта частота приближается. При суммировании всё сложнее: исходы связаны в случайную цепь, и если превышение гербов составляет на данный момент n очков, то следующие n–1 раз вы выиграете обязательно, а на n-й раз – с вероятностью 1 – 2—n. В итоге процесс игры является случайным блужданием по числовой прямой и оказывается весьма неустойчивым (подробнее см. п. 7-3.1).
Талант и бездарь, или о пределах статистики
Но если так, то встает вопрос: с какими случайностями мы имеем дело обычно? Чаще всего мы этого не знаем. В учебниках неизменно пишут во введениях только одно – что «опыт показывает» устойчивость частот, а того, что он сплошь да рядом этого не показывает, вы там не прочтете. (Например, можно ли говорить о вероятности того, что завтрашний день будет солнечным?)
А вопрос более чем важный, от него зависит вся наша идеология – не только в науке, но и в жизни вообще: когда мы вправе рассуждать вероятностно и доверяться обычной математической статистике (МС), а когда нет? Мы часто не замечаем, что решаем судьбу, свою и окружающих, на основе жестких статистических установок.
Например, господствующий на Западе (и с трудом приживающийся у нас) суд присяжных основан на простой и необсуждаемой идее – если 12 человек пришли к единому выводу, то вероятность ошибочности этого вывода пренебрежимо мала; сама же эта идея основана на неявной уверенности, что все 12 принимают решение независимо – как друг от друга, так и от органов власти. Литература о том, что эта уверенность ошибочна, огромна.
Есть, однако, области, где статистическая природа явлений и принимаемых решений столь же существенна, но почти никому не известна. С тех пор, как в 1939 году французский математик Поль Леви доказал неизбежность огромных отклонений при случайном блуждании, математики не раз обращали внимание на статистическую природу казалось бы вполне детерминированных явлений, но их никто не хочет слушать. Вот один пример, который особо задел меня как преподавателя.
В любой группе из примерно 30 учеников (обычный школьный класс) найдется отличник, почти или вовсе не имеющий четверок, и столь же обычен безнадежный двоечник, почти или вовсе не получающий даже троек. Первому гарантированы поощрения, дальнейшее обучение и, как правило, легкое укоренение в жизни; второго, наоборот, ждут сплошные беды и, довольно часто, встреча с психиатром или с тюрьмой. Каково же было мое удивление, когда мне стало известно, что и «отличник», и «двоечник» практически всегда найдутся в модельном «классе», где «отметки» поначалу достаточно долго выставляются путем бросания монеты, а затем итоги начинают суммироваться.
В самом деле, рассмотрим описанное выше случайное блуждание как накопление учеником отметок «сдал» (выигрыш) – «не сдал» (проигрыш). Очевидно, что регулярное и значительное превышение среднего (нулевого) уровня должно быть столь же типично, как и регулярное отставание, и в «классе» оба варианта почти наверняка будут представлены. Так, после пяти случайных испытаний среди 32-х «учеников» в среднем один получит все 5 выигрышей, а один – 5 проигрышей. Это еще не крайние «отличник» и «двоечник», но поле для их появления уже задано. Стоит добавить в модель одно условие: что регулярное превышение повышает вероятность дальнейшего успеха, а регулярное отставание – неуспеха, и крайние варианты со временем обеспечены. На практике оно возникает почти неизбежно, поскольку преподаватели склонны суммировать прежние исходы и затем руководствоваться этим при дальнейших оценках.
Что тут можно поделать? Очевидно, что система обучения должна пресекать случайные блуждания отметок, регулярно возвращая учетную ведомость к нулю. Сам я для этой цели стараюсь придерживаться нескольких твердых правил: не спрашивать параллельных преподавателей о двоечниках, пока мой курс не окончен; не занижать отметок при сдаче задолженностей, а при сомнении – завышать; ставить отметку в ведомость и лишь потом раскрывать зачетную книжку сдающего и т.д.
Вообще же очевидно, что всюду, где содержится суммирование исходов (во всевозможных матчах вроде первенства мира по шахматам, рейтингах и подведениях итогов), мы обсуждаем не столько способности и достижения участников, сколько таблицы случайных чисел, причем с неустойчивыми частотами.
Впрочем, всё это частности. Главное же видится в оценке места статистики в наших суждениях. Тут мне больше всего нравится тезис: «Статистике часто принадлежит первое слово, но последнее – никогда», к которому мы еще обратимся. Иными словами, статистика может давать пищу для размышлений, но не выводы.
Случайности бывают разные
Первое, что приходит в голову – дать определение случайности. К сожалению, этот путь ни к чему, кроме бесконечных споров, не приведет: ведь речь идет об одном из базовых понятий, о том, что философы называют категорией. Категории определений не имеют, поскольку с них начинаются рассуждения и нет того более раннего, на что при этом можно опереться. Математики в таких случаях прибегают к помощи так называемых неопределяемых понятий, т.е. апеллируют к интуитивной очевидности, но здесь такой прием тоже ничего не даст – слишком различна в этом пункте интуиция разных людей. Достаточно сказать, что одни люди вообще отрицают наличие случайности как объективно существующего явления, тогда как другие ее признают.
Остается воспользоваться давним опытом философии – подробно обсудить интересующую нас категорию неформально, средствами обычного разговорного языка, чтобы стало ясно, о чем далее будет речь, а о чем не будет. Обсуждая категории, философы поступают более мягко, чем математики, и достигают главного – очерчивают поле, на котором могут действовать и философия, и все науки, в том числе и математика. Обсуждение смысла понятия «случайность» – одна из основных тем книги.
Мы будем говорить о случайности как явлении, которое можно наблюдать, но не как о чьем-то мнении или впечатлении, которого наблюдать нельзя. (Последнее тоже интересно, но это особая отрасль знания, известная как учение о субъективной вероятности [Кайберг, 1978; Gigerenzer e.a., 1989].) Даже под случайностью явления разные ученые подразумевают совсем разное. Вот места из работ весьма известных натуралистов разных эпох, касающиеся случайности в отношении всего одной темы – биологической эволюции (источники этих цитат см. [Чайковский, 1996а], курсив мой).
{1} "До сих пор я иногда выражался таким образом, как будто изменения... были делом случайности. Это выражение, конечно, совершенно неверно, но оно ясно обнаруживает наше незнание причины каждого конкретного изменения". – Ч. Дарвин, 1859.
{2} "...Уместно заметить, что все существа в значительной мере подвергаются и чисто случайному истреблению, почти или вовсе не имеющему отношения к естественному отбору". – Ч. Дарвин, 1872.
{3} <<Развитие жизни свидетельствует нам не столько о смене форм организмов, сколько о глубинном процессе обращения атомов в биосфере. Те виды, которые мы называем хорошо приспособленными к окружающей среде и выжившими в процессе эволюции – не случайны. Они увеличили "оборот" атомов в биосфере. Вымерли же те, которые этому не способствовали, – случайные>>. – В.И. Вернадский, 1928.
{4} "Реальный случай не есть случай теории вероятностей". – Он же, без даты.
{5} "Акцент на случайный характер изменчивости позволяет назвать, следуя Л.С. Бергу, дарвиновское понимание эволюции тихогенезом в противоположность номогенезу". – А.А. Любищев, 1963.
{6 }"Он (ботаник-дарвинист А. Кронквист, 1969 г. – Ю.Ч.) признаёт новое понимание случайности мутаций – случайность только в смысле невозможности контролировать и предвидеть мутации [...] Он склонен объяснять различие животных и растений тем, что весь организм животных более интегрирован и морфологически, и физиологически и поэтому менее терпим к случайным неадаптивным изменениям". – Он же, 1971. (Отмечу, что близкое Кронквисту понимание случайности мутаций бытует в дарвинизме поныне – см. цитату {9}.)
{7} "История любого вида животных может казаться случайной, зависящей от других видов и флуктуаций окружающей среды. Но трудно отделаться от впечатления, что общая структура тропического леса, например всё многообразие живущих там видов животных и растений, соответствует некоторому архетипу порядка" – И. Пригожин, И. Стенгерс, 1986.
{8} "Если исходным механизмом, приведшим к образованию первых биомолекул, была случайность типа борелевской обезьяны за пишущей машинкой, то история жизни была бы непостижимой" – они же, 1994.
К высказываниям этих авторитетов добавлю места из энциклопедии и учебника:
{9} "Мутации случайны – потому что они суть редкие исключения в регулярности репликации ДНК, ошибки копирования; – потому что они не являются результатом предустановленного процесса; – потому что нельзя предсказать, какой ген смутирует и в какой особи популяции". Однако если мутации происходят с частотой выше 1/5000, то они "не являются результатом одной лишь случайности" [Devillers, Gui, 1996, c. 2149].
{10} «...термодинамика буквально на наших глазах меняет всю картину Мира... энтропия является тем самым «сырьем», из которого диссипативные структуры могут создать (а могут и не создать – это дело случая!) более высокую, чем прежде, упорядоченность» [Еськов, 2000, c. 88].
Являются ли столь разные понятия обозначениями одного и того же явления (хотя бы в теории эволюции)? Очевидно, что нет.
На сегодня единой теории случайности не существует. В результате мы видим прямые противоречия – не только у разных авторов, но даже в одной статье, что особенно ясно из цитаты {9}, где слово применено сразу в трех смыслах, причем неочевидно, совместимы ли они. Нужно как-то классифицировать случайности. Прежде всего надо уметь разграничивать случайное и неслучайное. Традиционно случайность противопоставляют необходимости, но ее можно противопоставлять и иным понятиям.
В литературе мне не удалось найти классификации случайностей. В давнем докладе [Чайковский, 1983] была сделана попытка определить случайность через противоположные ей понятия, т.е. выявить апории случайности. Случайность была там противопоставлена не только необходимости, но еще и согласованности, информированности, выводимости, регулярности, целесообразности, свободе выбора (творчеству), чуду, измеримости, закономерности (общности), важности (существенности), понятности. Всего 12 апорий.
Апории (противоположения, антонимические пары) не могут поодиночке служить характеристиками случайности. Например, свобода выбора может быть противоположна как необходимости, так и случайности. Это хорошо известно юристам – полная ответственность наступает, если преступление совершено по собственной воле, тогда как случайное или вынужденное действие либо ненаказуемо, либо карается мягче. С другой стороны, для культуролога Освальда Шпенглера (1918 г.) случайность была "внутренне родственна принципу причинности", т.е. необходимости, в силу "неорганичности" обеих [Шпенглер, 1993, с. 222].
Тем самым, одно и то же реальное явление природы (не говоря уж о душевных актах) вполне может выступать и как случайное, и как неслучайное – в зависимости от точек зрения. Апории могут дать некоторое общее представление о том, какую роль в языке играет слово "случайность", но для более аккуратного анализа нужны другие методы. Мы займемся ими в главе 8 после того, как будут изложены фактические знания о том, что в языке носит имя случайности.
Случайность и алеатика
Попытки дать определение если не случайности вообще, то случайности как явлению, существуют. Самое широкое понимание в математике звучит так: "Событие А, которое при осуществлении комплекса условий S иногда происходит, а иногда не происходит, называется по отношению к этому комплексу условий случайным" [Колмогоров, 1956, с. 252]. Однако это определение не вполне математично (неоднозначен смысл слова "иногда"), и математики им предпочитают не пользоваться. Им пользуются только философы, тогда как математические руководства обычно упоминают только "случайное событие" теории вероятностей (ТВ).
В "Математической энциклопедии" (1985) есть следующие два определения: "Случайное событие – любая комбинация исходов некоторого опыта, имеющая определенную вероятность наступления" и "Вероятностей теория – математическая наука, позволяющая по вероятностям одних событий находить вероятности других"(*). Иных определений, касающихся нашей темы, тут нет.
Если принять такой подход, то к ТВ не может быть претензий о смысле случайности, но ясно, что нужна какая-то более общая "наука о случайном". Для нее недавно предложен термин "алеаторика" [Марков В.А., 1988], но он не вполне удачен, поскольку латинское "aleator" слишком узко (означает только "игрок в кости"), а в наше время алеаторикой именуют иногда особый род легкой музыки. Более подходит, по-моему, слово алеатика [Чайковский, 1996a].
Фактически алеатика давно существует, и привычная нам ТВ – всего лишь самая разработанная, но отнюдь не самая интересная и перспективная ее часть. Эта новая наука представляется необходимой для решения многих актуальных проблем, из которых мне наиболее близка проблема роли случайности в биологической эволюции.
Недавно я был рад узнать, что болгарский методолог Борис Чендов уже давно размышляет на темы случайности и предложил для новой науки название индефинитика [Чендов, 1974]. Это, в основном, аспект модальной логики, которая достаточно далека от темы данной книги. Можно сказать, что мы с Чендовым разматываем две разные нити мысли, тянущиеся от идей великого Лейбница, который по сути был основателем науки о случайном. После издания своей книги Чендов ушел еще дальше от наших тем [Чендов, 1994], но его книгу мы не раз вспомним.
В качестве иной, нежели ТВ, части алеатики, назову алгоритмическую теорию случайности. Ею мы займемся в главах 2 и 6, а здесь только обращу внимание на одно выявленное ею обстоятельство, неожиданное для начинающего. У многих авторов, касающихся темы случайности вскользь, можно прочесть, что все равновероятные варианты случайны в равной степени, что, например, расстановка томов энциклопедии от А до Я столь же информативна, сколь и любая другая (но однозначно заданная) расстановка, поскольку обе равно маловероятны. Так, "интуитивно случайная последовательность нулей и единиц представляется столь же простой, как и последовательность из одних единиц" [Соколов, 1990, с. 165].
Тут интуиция обманула автора: из равновозможности ни равная сложность, ни равная информация, ни равная случайность не следуют. И та же интуиция в иной ситуации говорит иное: встретив запись "в обществе состоит 100 членов", мы уверенно заключаем, что пишущий не сосчитал их числа (иначе написал бы "ровно 100 членов"). Ибо простое более вероятно, чем сложное.
Недаром одним из исходных положений алгоритмической теории случайности является такое: <<вместо тезиса "события, вероятность которых ничтожно мала, не происходят" выдвигается тезис "события, просто описываемые и имеющие ничтожно малую вероятность, не происходят">> [Шень, 1982, c. 40]. Т.е. короткий алгоритм назван менее вероятным. Это выглядит странно, но приводит к теории, тогда как никто из тех, кто приравнивал информативность равновероятных вариантов, не построил теории случайности.
Случайность и вероятность
Если определенной вероятности у события нет ("событие возможно, но вот и всё" [Brakel, 1976, c. 122]), то разве событие нельзя называть случайным?
Так, все планеты обращаются вокруг Солнца в одну сторону и все, кроме Венеры и Урана, в ту же сторону и вращаются вокруг своих осей. Любая теория эволюции Солнечной системы исходит из этой однонаправленности как закономерности, которую надо объяснить, тогда как особенности Венеры (вращается в обратную сторону) и Урана (вращается "лёжа на боку") рассматриваются как случайности, происшедшие в силу каких-то однократных древних возмущений, нарушивших действие общего закона. Ситуация всех устраивает, хотя о частотах возмущений сказать решительно нечего. А ведь если признать эти особенности неслучайными, то придется строить совсем другие теории эволюции. Анализ см. [Чайковский, 1987].
Могут возразить, что в математике речь идет не о природном событии, а лишь о термине ТВ; но что значит тогда "некоторый опыт", упомянутый, как мы видели в начале п. 2, в энциклопедии? Из какой науки он взят? Обычно в математике таких расплывчатостей не бывает, и в этом смысле ТВ – исключение.
У философов иногда бывает получше. Например: "Случайность – отражение в основном внешних, несущественных, неустойчивых, единичных связей действительности; выражение начального пункта познания объекта; результат перекрещивания независимых причинных процессов, событий; способ превращения возможности в действительность, при котором ... имеется несколько различных возможностей, ... но реализуется только одна из них" (Филос. энц. словарь, 1983). Удивляет лишь отсутствие в статье ссылки на понятие вероятности.
Оказывается, у этого взаимного невнимания есть давняя историческая традиция, хорошо отражающая трудную судьбу алеатики. "Общая литература по нашей теме отсутствует" – заключил такой эрудит, как О.Б. Шейнин [1988, c. 4]. Пусть от его взора и ускользнула интересная книга японского философа Шузо Куки [Kuki, 1966], но Шейнин в целом прав – проблема случайности как таковой почти не разработана.
Вероятность часто путают со случайностью (и даже выносят это смешение на обложки научных книг – например [Gigerenzer e.a., 1989]), хотя эти понятия очень различны как по истокам, так и по сути. А.Н. Колмогоров, один из основателей нынешней ТВ, подчеркивал, что вероятность – математическое понятие, мера случайного, о которой можно говорить только в отношении одного класса случайных явлений – того, в котором наблюдаются устойчивые частоты, что "такого рода явления естественно назвать вероятностно-случайными. Иногда их называют стохастическими" [Колмогоров, 1956, с. 254]. Однако он не сказал, какие еще бывают случайности, и, насколько мне известно, этот вопрос в математике почти не ставится и никогда всерьез не обсуждается, хотя фактически она с ними дело, разумеется, имеет.
Термин "стохастический" не вполне удачен – прежде это слово употреблялось для обозначения направленного процесса со случайной составляющей (стохастикос по-гречески значит "меткий, догадливый") [Чайковский, 1977]; а теперь им чаще всего обозначают случайное вообще. Однако в теории динамического хаоса обычно стохастическими называют именно явления, обладающие устойчивыми частотами, и мы воспользуемся этим термином. Будем называть стохастическим по Колмогорову случайное явление, в котором можно ввести вероятность как величину, к которой приближается частота (подробнее см. гл. 2 и 4).
Учебники и руководства по ТВ вопрос об устойчивости частот едва упоминают и никогда не обсуждают по-существу, оставляя тем же философам восклицать: "Однако главным остается вопрос: будет ли эта частота устойчива?" [Катасонов, 1993, c. 120].
Обсуждая со мною тему случайности в январе 1996 г., покойный Ю.А. Шрейдер, математик и философ, отметил грустно: "Курс теории вероятностей построен так, что учит студентов вычислять вероятности, но отучает от размышлений о случайности". Добавлю, что потом, выучившись, большинство уже не могут не только делать это сами, но и воспринимать размышления других. Проблему приходится ставить и пытаться решать нематематикам.
Вскоре после появления колмогоровской ТВ (1933 г.) некоторые философы и математики стали обращать внимание на то, что в ней нехватает какой-то "аксиомы вероятности", которая связала бы эту теорию с остальной наукой. Так, Пий Сервьен полагал, что обычная для ТВ "аксиома вероятности", вводящая вероятность без обращения к случайности, абсурдна, поскольку исходит из неопределяемой "равной вероятности" элементарных событий, и новая аксиоматика ничего тут не изменила. Не устраивал его и чисто статистический подход, когда законы случая пытаются извлечь исключительно из длинных серий испытаний или наблюдений. Акт "случайного выбора" навсегда останется внешним по отношению к математике [Servien, 1942, c. 23-24]. Затем Джон Литтлвуд писал: "Если вероятность должна иметь дело с реальным миром, в ней должны содержаться элементы, внешние по отношению к математике". Он полагал, что существует некая "аксиома вероятности", связывающая математическую вероятность с реально наблюдаемой в природе частотой [Литтлвуд, 1962, с. 59]. Далее (в главах 2 и 5) будут приведены варианты этой аксиомы.
Вероятность обычно вводится как непременная характеристика всякой случайности, и трудно объяснить, особенно – прикладникам, использующим статистические приемы, что наличие ее – вовсе не общее правило; что есть много явлений, где частота в длинном опыте устойчива и поэтому ее можно назвать вероятностью (падение монеты гербом; рождение мальчика, а не девочки, и т.п.), но есть много и иных, где устойчивых частот нет и потому неясно, что называть вероятностью. Для начала мы разделим случайные явления на два обширных класса – допускающие введение вероятности и не допускающие этого.
Любой бы удивился, если бы при бросании монеты герб стал выпадать нерегулярно (в одной сотне бросаний 4 герба, в другой 94, в третьей 2, в четвертой 70 и т.д.), но вот генетики, наблюдая нечто похожее – беспорядочность мутаций, – не удивляются, а вводят успокоительные термины – "грязный опыт", "мода на мутации" и им подобные. "Моду на мутации" описывают как резкое и без видимых причин повышение вероятности, а "грязный опыт" просто игнорируют. Не яснее дело в лингвистике: почти всякий текст, даже очень длинный, обладает тем свойством, что около половины слов встречается в нем всего однажды, так что частоту его ввести всерьез нельзя; да и у часто употребляемых слов частоты могут варьировать, даже в пределах одного автора и тематики, так сильно, что о вероятности (если понимать ее как устойчивую частоту) говорить нет смысла. Об этом пойдет речь в главе 9.
Вероятностями не обойтись
Будем вычислять корень из двух. Всем известно, что это число – иррациональное, т.е. выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Замечательно, что знаки этой дроби случайны в том смысле, что появление на данном месте (в данном знаке после запятой) той или иной цифры не зависит от того, какая цифра стоит на предыдущем месте. Вероятность появления любой цифры в любом данном (еще не вычисленном) знаке равна 1/10. Однако случайности тут нет в том смысле, что каждый знак можно однозначно вычислить.
Немецкий астроном, математик, физик и философ Иоганн Ламберт, отметив этот факт, заявил, что тем самым, "случайность есть не только в мире, но и в математике", что "в этих цифрах есть порядок связности [l'ordre de liaison] и что каждая с необходимостью расположена на своем месте; но очевидно также, что совсем нет порядка сходства [l'ordre de ressemblance] и что они следуют как случайные бросания". По его мнению, от ТВ будет мало пользы, пока математики не научатся различать эти два вида порядка [Lambert, 1772, c. 330–331].
Бывает иначе: частота неустойчива, и потому ее анализ с помощью вероятностей ничего путного не дает. Такова вся статистика общеупотребительных слов. Анализ см. [Арапов, 1988]. Причина неустойчивости частоты слова в тексте достаточно ясна: всякий текст является системой, поэтому каждое употребление слова определяется единым для текста смыслом, а вовсе не случайным исходом статистического опыта. Но ведь иррациональное число – тоже система, тоже целостность. Только поняв, в чем различие систем, дающих устойчивые частоты встречаемости своих элементов, от систем, такой устойчивости не дающих, мы приблизимся к пониманию природы случайности.
С вопросом о существовании вероятности тесно связан другой: что такое вероятность сама по себе? Всегда ли под этим словом понимается (хотя бы данным автором) одно и то же? К сожалению, нет: автор может, в зависимости от контекста, понимать ее как степень правдоподобия, как частоту, как меру или как предрасположенность (см. гл. 2). Но увы, математики не любят задумываться о природе изучаемых ими объектов, молчаливо полагая, что это должен делать кто-то другой. Кто именно?
В вопросах вероятности вышло так, что решать просто некому: математики уверены, что по принятии аксиоматики Колмогорова суть случайности им ясна, а ученые других специальностей вынуждены им верить или нет, ибо не владеют аппаратом. Но при каких условиях объекты, удовлетворяющие аксиоматике Колмогорова, существуют? Описывает ли она случайность? Существует же мнение, что вероятность есть всего лишь очередная "редукция случайного к неслучайному" [Byrne, 1968, c. 33], и высказывают его почему-то знатоки истории науки.
Американские методологи, рисуя отношение "идеальных математиков" к базовым понятиям, пишут: <<Что здесь значит слово "существуют"? – этот вопрос никогда не приходит в их головы; о смысле этого слова можно только догадываться, наблюдая работу клана профессионалов>> [Дэвис, Херш, 1993, с. 119]. Так обстоит дело и со случайностью – наблюдая работу математиков, легко видеть: обычно они просто игнорируют те объекты, где характер случайности не дает ввести вероятность.
Ясно видел границу круга задач "вероятностной случайности" А.Н. Колмогоров, однако и он сам, выступая как редактор, регулярно отвергал статьи, не ложившиеся в статистическую парадигму [Тутубалин, 1993, c. 101], а она целиком основана на ТВ. За прошедшие годы ситуация в сущности не изменилась.
Нужна история
Наука, не анализирующая своих основ, понемногу теряет смысл, превращаясь в то, что методолог Томас Кун называл решением головоломок. Такой, на мой взгляд, оказалась на сегодня судьба столь респектабельных научных дисциплин, как ТВ в математике и дарвинизм в биологии, а отчасти – и теория квантов в физике. При всем их различии как по предмету, так и по методу, они проявляют удивительное сходство в одном: в нежелании анализировать своё основное понятие – случайность.
Так, в биологии господствует (а лет 30 назад царило безраздельно) толкование эволюции как процесса отбора случайных наследственных вариаций, именуемое дарвинизмом. В этих рамках считается ненаучным вопрос о природе собственных, не зависящих от направления отбора, законов изменчивости; вариации случайны, и этим якобы всё сказано. Что значит "случайны", спрашивать не принято. Сам Дарвин так не считал (см. цитату {1}), но это вспоминают только противники дарвинизма. Почему?
Потому, отвечают они, что ссылка на случайность с древности и поныне служит оправданием отказа от обсуждения сути дела, законов природы. "Очевидно, биологические проблемы столь сложны, что в них завязают даже умы, привыкшие к исключительной строгости мышления", т.е. математики [Любищев, 1982, c. 159].
По-моему же, специфика биологии тут ни при чем, дело в мировоззрении эпохи. Ведь и в самой математике ситуация сходна: о природе случайного говорить не принято, вместо этого говорят (и то больше философы, чем сами математики) о природе вероятности, будто это одно и то же. А это, как мы уже видели, совсем не так. Но всегда ли так было?
В истории математики эти вопросы почти не исследованы. Как типичное можно указать исследование [Doob, 1994], где в качестве истории понятия случайности описано лишь становление формализма ТВ, хотя связь формализма ТВ с реальными частотами названа туманной, а в хронологическом списке упомянуты те работы, где исследовались именно реальные частоты (например, работа Р. Мизеса, о котором мы не раз будем говорить). Читая это, можно понять возгласы пессимистов, вроде цитаты {4}.
Если, однако, заглянуть в старые работы Колмогорова, то выяснится, что он был этой проблематикой озабочен: "Говорить о том, что событие А является вероятностно-случайным и приписывать ему вероятность ... можно только тогда, когда указан класс допустимых способов формирования серий испытаний" [Колмогоров, 1956, с. 271] («допустимые способы» – это отсылка к Мизесу, о чем мы узнаем в гл. 2).
Позже, в 1960-х гг., Колмогоров хотел построить общую теорию случайности и полагал, что идеи теории информации, построенной без обращения к ТВ, "могут лечь в основу новой концепции случайного, соответствующей естественной мысли о том, что случайность есть отсутствие закономерности" [Колмогоров, 1991, c. 32].
Однако на этом пути решения не оказалось: если понимать случайность текста как отсутствие алгоритма в последовательности его знаков, то, как известно, получается обычная, вероятностная, случайность – в этом состоит основной результат алгоритмической теории случайности. Ей давно пора войти в учебники ТВ, но путь к общей теории случайности лежит, по-моему, не здесь. Ведь эта теория касается лишь текстов в заданном алфавите, тогда как в конкретных науках выявление "алфавита" означает самый важный этап формализации.
ТВ не в силах даже поставить вопрос о выявлении "алфавита". Так, А.В. Скороход, ведущий специалист и автор руководств, предложил "правильную постановку вопроса: как часто в цепочке (серии испытаний – Ю.Ч.) будет происходить явление из данного класса? Именно в таких ситуациях мы будем говорить о случайности" [Скороход, 1989, с. 9]. С этого пункта он предложил начать формализацию, в действительности же вопрос "как часто?" имеет смысл только тогда, когда перечислены и в каком-то смысле приведены к одному масштабу все возможные для данного круга явлений варианты, т.е. когда почти вся формализация уже проведена. В главе 3 мы увидим, что как раз отсутствие заранее ограниченного круга вариантов может приводить к нарушению закона больших чисел, а с тем и к падению всей идеологии вероятностей.
Налицо познавательный тупик, выбраться из которого нельзя без экскурса в историю. Дело не только в том, что всякая проблема яснее видна, когда известны ее становление и ранние формулировки, – эта функция истории науки теперь достаточно известна. Главное видится в другом – в поиске утерянных альтернатив. Надо отбросить ту традицию, которая начинает историю науки о случайном с рождения ТВ (например, с переписки Б. Паскаля и П. Ферма в 1654 г.), а размышления предыдущих двух тысяч лет сводит к нескольким античным цитатам, никак не связанным с остальным текстом.
Такая традиция просто лишает нас возможности понять суть дела, поскольку как раз рождение ТВ и явилось моментом фактического окончания серьезной дискуссии о природе случайности. Обсуждать стали более частную проблему – "природу вероятности", обсуждали триста лет и добились в ХХ веке огромного успеха в самой ТВ. Но теория почему-то работает в одних областях, не работает в других, и никто не может толком указать границ ее применимости [Алимов, 1980; Тутубалин, 1993].
Суть анализа должна, на мой взгляд, состоять в поиске ключевых моментов развития алеатики, в выявлении основных альтернатив, из которых в прошлом производился выбор путей развития. Лишь после такого анализа можно надеяться понять, из какого понятийного тупика следует выбираться, каким из забытых альтернатив следовать.
По этому пути мы и двинемся, однако не следует искать в нижеследующем связную историю ТВ или других дисциплин – далее излагаются только ключевые моменты, в которые происходил, как мне видится, выбор дальнейшего пути.
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 599; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!