ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Практическая работа №3

«Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме.

Вопросы теории (исходный уровень):

1. Первообразная функции и неопределённый интеграл.

2. Интегрирование.

3. Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.

4. Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.

5. Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.

6. Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах (самостоятельная подготовка)

Содержание занятия:

1. ответить на вопросы по теме занятия

2. решить примеры

Примеры

Найти интегралы:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)

Вычислить интегралы:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	21)	22)
23)	24)	25)
26)	27)	28)
29)	30)	31)
32)	33)	34)
35)	36)	37)
38)

Тема

Неопределенный интеграл

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла

∫f(x)dx=F(x)+C

∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx

∫ d(F(x))=F(x)+C

(∫f(x)dx)=f(x)

∫f(x)dx= ∫f(t)dt

d∫f(x)dx=f(x)dx

∫af(x)dx+a∫f(x)dx

Основные интегралы

∫dx=x+C

∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/ (n+1) +C (n≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫a^xdx=a^x/lna +C

∫e^xdx=e^x+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos²x=tgx+C

∫dx/sin²x=-ctgx+C

∫dx/(1-x²)^1/2=arcsinx=-arccosx

∫dx/(1+x²)= arctgx=- arcctgx

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = ∫ ln хdх.

Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C

Пример метод непосредственного интегрирования

Найти у= ∫ (1+ 2x²)dx

На основании свойства интеграла суммы запишим

у= ∫ (1+ 2x²)dx = ∫ dx+2 ∫ x²dx =x+2x³/3+C

Пример; метод замены переменной( метод подстановки)

∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx обозначим cosx=t

Продифферинцируем праву и левую часть

-sinxdx=dt найдем dx=dt/(-sinx)

Запишим интеграл через новые переменные

∫(sinx/t) dt/(-sinx) =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C

Определенный интеграл

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной суммы

lim∑f(k_i)Δx_i ( от i=1 до n и Δx→0)

где k_i — произвольная точка соответствующего отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница

где F′ — первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f₁(x) и у = = f₂(x) [ f'₂(x)≥f₁(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения

F(x ,y,y′,y″,…yⁿ) = О

Общee решение дифференциального уравнения

y=f(x, C₁,C₂, , С_n)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

F(x,y,y') = 0

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

y= f(x,C)

примеры

1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)

dy/dx=f(х) , dx = f(x)dx

Общее решение

y=∫f(x)dx=F(x)+C

Дифференциальное уравнение типа

у' = f(y)

dy/dx=f(y), dy/f(y)=dx

Общее решение

∫dy/f(y)=F(y)+C

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными

f(x) dx + φ(y)dy = 0

Общее решение

∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0

Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными

(f(x)/ψ(x))dx+(Ф(y)/φ(y))dy=0

Общее решение

∫(f(x)/ψ(x))dx+∫(Ф(y)/φ(y))dy=C, F₁(x)+F₂(y)=C

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Из школьного курса математики известно, что математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий (например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование).

Дифференцирование дает возможность для заданной функции F ( x ) находить ее производную ¢ F ¢ ( x ) или дифференциал dF = F ¢ ( x ) dx .

Cуществует действие, обратное дифференцированию,- интегрирование - нахождение функции F ( x ) по известной ее производной f ( x ) = F ¢ ( x ) или дифференциалу f ( x ) dx.

Функцию F( x ) называют первообразной функции f ( x ), если для всех х из области определения функции F ¢ ( x ) = f ( x ) или dF ( x )= f ( x ) dx.

Например, функция F ( x ) = x ⁵ является первообразной функции f ( x ) = 5 x ⁴ для х Î ] - ¥ , + ¥ [ , так как при любом х (х⁵) ¢ = 5х⁴ и dx ⁵ =5 x ⁴ dx.

Для функции f ( x ) = 5 x ⁴ первообразной будет любая функция Ф(х) = х⁵ + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.

В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x):

(F(x) + C) ¢ = F ¢ (x) = f(x).

Cовокупность первообразных F ( x ) + С для данной функции f ( x ) или данного дифференциала f ( x ) dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают òf ( x ) dx.

По определению, òf ( x ) dx = F ( x ) + C (читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).

Выражение f ( x ) dx называют подынтегральным выражением, функцию f ( x ) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.

Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f ( x ) = cos x, если при х = 0 F (0) = 0.

Решение. Функция cos x есть производная от функции sin x, поэтому ò cos xdx = sin x + C . Обозначим искомую первообразную F ( x ) = sin x + C . Подставив в последнее выражение начальные данные x = 0 и F (0) = 0, получим 0 = sin 0 + C , откуда C = 0. Искомая первообразная F ( x ) = sin x .

В геометрии с помощью неопределенного интеграла по закону углового коэффициента касательной в любой точке кривой можно найти уравнение кривой.

Пример. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен её абсциссе, то есть r = x. Составить уравнение кривой.

Решение. Так как угловой коэффициент r = tg j = f ¢ ( x ) = x , то y = ò xdx = = x ² /2 + C есть семейство парабол, отличающихся друг от друга на постоянную С.

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 89; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	21)	22)
23)	24)	25)
26)	27)	28)
29)	30)	31)
32)	33)	34)
35)	36)	37)
38)

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	21)	22)
23)	24)	25)
26)	27)	28)
29)	30)	31)
32)	33)	34)
35)	36)	37)
38)

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	21)	22)
23)	24)	25)
26)	27)	28)
29)	30)	31)
32)	33)	34)
35)	36)	37)
38)