Задачи для самостоятельной работы

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 26Следующая ⇒

1. Найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

а) , в) ,

б) , г) .

2. Найти решение однородной системы линейных уравнений:

а) , в) ,

б) , г) .

3. Исследовать и решить систему уравнений. Выполнить проверку общего решения.

а) , в) ,

б) , г) .

Применение метода Гаусса в линейной алгебре

Ранее, в параграфе 8 главы 2 были даны определения линейно зависимой, линейно независимой систем векторов, ранга системы векторов, базиса системы векторов и векторного пространства. Определить, линейно зависима система векторов или нет, выразить один вектор через другие можно, решив систему линейных уравнений методом Гаусса.

Пример 1. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов: =(1,2,3,0), = (-1,2,3,0), =(2,5,-2,3), =(4,12,2,1).

Решение. Используем определение. Из векторов составим линейную комбинацию с произвольными коэффициентами , приравняем её к нулевому вектору, получим уравнение: . Далее задача сводится к тому, чтобы выяснить, будет ли составленное уравнение иметь хотя бы одно ненулевое решение.

Поскольку равенство векторов означает равенство соответствующих координат, то получаем следующие равенства, которые рассматриваем как систему линейных однородных уравнений:

Решая её методом Гаусса, получаем, что она имеет единственное решение (0,0,0,0). Следовательно, система линейно независима.

Пример 2. Выяснить, можно ли вектор линейно выразить через систему , .

Решение: Допустим, что вектор линейно выражается через систему векторов . Это означает, что можно составить следующую линейную комбинацию: . Проверим, существуют ли действительно такие коэффициенты . Перейдем к равенству одноименных координат, получим следующую систему линейных уравнений: .

Задача свелась к тому, чтобы проверить, совместна ли полученная система. Решая её методом Гаусса, получаем, что она несовместна. Значит, вектор a нельзя выразить через указанную систему векторов.

Пример 3. Для системы векторов найти базис и ранг; через найденный базис выразить все остальные векторы системы.

Решение. Для нахождения ранга системы векторов составляем из координат матрицу, подвергаем её элементарным преобразованиям для приведения к ступенчатому виду (ранг системы векторов при этом сохраняется). Справа от каждой строки (вектора) пишем её выражение через .

A= ~ ~ ~ .