Интегрирование некоторых выражений, содержащих
Тригонометрические функции
1) Интегралы вида
Применим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку , , ,
С помощью указанной подстановки интеграл сводится к интегралу от рациональной функции
.
Пример 28. Найти интеграл .
Решение:
2) Интегралы вида или .
а) приводится к с помощью подстановки
б) приводится к , если
3) Интегралы вида .
Если подынтегральная функция зависит только от tgx или только от sinх и cosх, входящих в четных степенях, то применяется подстановка
в результате которой получим интеграл от рациональной функции:
Пример 29.
Решение:
.
4) Интегралы вида
а) m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Пусть для определенности n-нечетное. Тогда полагаем
б) m и n - неотрицательные, четные числа. Полагаем ,
Возводя в степень и раскрывая скобки, получим интегралы, содержащие как в четных, так и нечетных степенях. Интегралы с нечетными степенями cos2x интегрируются как в случае а). Четные показатели степеней cos2x снова понижаем по выше указанным формулам. Продолжая так поступать, получим в конце концов слагаемые вида , которые легко интегрируются.
Пример 30. Найти интеграл .
Решение:
.
Пример 31. Найти интеграл .
Решение:
в) m и n - четные числа, но хотя бы одно из них отрицательное.
В этом случае следует сделать замену ( или .
Пример 32. Найти интеграл .
|
|
Решение:
5) Интегралы вида .
Чтобы проинтегрировать данные функции, достаточно применить тригонометрические формулы:
Тогда
Аналогично вычисляются два других интеграла.
Пример 33. Найти интеграл .
Решение:
Определенный интеграл
Определение и свойства определенного интеграла
Пусть на сегменте [a,b] задана функция f(x). Выполним следующие операции:
1. С помощью точек деления разобьем [a,b] на n малых сегментов: .
2. На каждом малом сегменте выберем произвольную точку , , составим произведение .
3. Составим, так называемую, интегральную сумму всех таких произведений
.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма , когда стремится к нулю.
Таким образом,
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами (границами) интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, а интервал [a,b] - областью интегрирования.
Функция f(x), для которой существует конечный , называется интегрируемой на промежутке [a,b], причем указанный предел не зависит ни от способа разбиения сегмента [a,b] на части, ни от выбора точек в каждой из них.
|
|
В теореме существования определенного интеграла указывается на то, что всякая непрерывная на промежутке [a,b] функция f(x) является интегрируемой на нем.
Впредь подынтегральную функцию будем считать непрерывной.
Без подробных объяснений приведем некоторые свойства определенных интегралов.
1. .
2.
3. .
4. Если на [a,b], то .
5. Если для , то
а)
б)
6. Теорема о среднем: ,
где - непрерывна на [a,b].
7. .
8.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 147; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!