Интегрирование некоторых выражений, содержащих

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Тригонометрические функции

1) Интегралы вида

Применим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку , , ,

С помощью указанной подстановки интеграл сводится к интегралу от рациональной функции

Пример 28. Найти интеграл .

Решение:

2) Интегралы вида или .

а) приводится к с помощью подстановки

б) приводится к , если

3) Интегралы вида .

Если подынтегральная функция зависит только от tgx или только от sinх и cosх, входящих в четных степенях, то применяется подстановка

в результате которой получим интеграл от рациональной функции:

Пример 29.

Решение:

4) Интегралы вида

а) m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Пусть для определенности n-нечетное. Тогда полагаем

б) m и n - неотрицательные, четные числа. Полагаем ,

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим интегралы, содержащие как в четных, так и нечетных степенях. Интегралы с нечетными степенями cos2x интегрируются как в случае а). Четные показатели степеней cos2x снова понижаем по выше указанным формулам. Продолжая так поступать, получим в конце концов слагаемые вида , которые легко интегрируются.

Пример 30. Найти интеграл .

Решение:

Пример 31. Найти интеграл .

Решение:

в) m и n - четные числа, но хотя бы одно из них отрицательное.

В этом случае следует сделать замену ( или .

Пример 32. Найти интеграл .

Решение:

5) Интегралы вида .

Чтобы проинтегрировать данные функции, достаточно применить тригонометрические формулы:

Тогда

Аналогично вычисляются два других интеграла.

Пример 33. Найти интеграл .

Решение:

Определенный интеграл

Определение и свойства определенного интеграла

Пусть на сегменте [a,b] задана функция f(x). Выполним следующие операции:

1. С помощью точек деления разобьем [a,b] на n малых сегментов: .

2. На каждом малом сегменте выберем произвольную точку , , составим произведение .

3. Составим, так называемую, интегральную сумму всех таких произведений

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма , когда стремится к нулю.

Таким образом,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами (границами) интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, а интервал [a,b] - областью интегрирования.

Функция f(x), для которой существует конечный , называется интегрируемой на промежутке [a,b], причем указанный предел не зависит ни от способа разбиения сегмента [a,b] на части, ни от выбора точек в каждой из них.

В теореме существования определенного интеграла указывается на то, что всякая непрерывная на промежутке [a,b] функция f(x) является интегрируемой на нем.

Впредь подынтегральную функцию будем считать непрерывной.

Без подробных объяснений приведем некоторые свойства определенных интегралов.

1. .