Расстроенный врач и больной гений 14 страница
Дуэль происходила на пистолетах. В отчете о вскрытии говорится, что стрелялись с 25 шагов, но истинная картина могла быть даже страшнее. Статья в номере Le Precursor от 4 июня 1832 года сообщала:
Париж, 1 июня. Вчера злосчастная дуэль отняла у науки юношу, подававшего самые блестящие надежды. Увы, его преждевременная известность связана только с политикой. Молодой Эварист Галуа… дрался на дуэли с одним из своих юных друзей. Оба молодых человека — члены Общества друзей народа, и оба фигурировали в одном и том же политическом процессе. Есть сведения, что дуэль была вызвана какой-то любовной историей. Противники избрали в качестве оружия пистолеты. Когда-то они были друзьями, поэтому сочли недостойным целиться друг в друга и решили положиться на судьбу. Стреляли в упор, но из двух пистолетов заряжен был только один. Пуля ранила Галуа навылет. Его перенесли в больницу Кошен, где он умер два часа спустя. Галуа исполнилось двадцать два года, его противнику L.D. — чуть меньше.
Могло ли «L.D.» означать Пеше д'Эрбенвиля? Возможно. Буква D приемлема ввиду тогдашнего разнобоя с написанием; a L могла быть ошибкой. Статья не слишком надежна в том, что касается подробностей, — в ней неправильно указаны дата дуэли, а также день смерти Галуа и его возраст. Так что инициал тоже вполне мог оказаться ошибочным.
У космолога и писателя Тони Ротмана есть более убедительная версия. Лицо, которое более всего подходит под данное описание, — это не д'Эрбенвиль, а Дюшатле, некогда арестованный вместе с Галуа на Новом Мосту. Биографы Галуа Робер Бурнь и Жан-Пьер Азра сообщают, что Дюшатле был наречен именем Эрнест, но это может оказаться неверным — или, опять же, инициал L ошибочен. Вот что пишет Ротман: «Мы приходим к очень согласованной и правдоподобной картине, когда два старых друга влюбляются в одну и ту же девушку и решают прояснить ситуацию с помощью такого чудовищного варианта русской рулетки».
|
|
|
Эта теория согласуется еще и с ужасающим финальным поворотом сюжета. Галуа получил рану в живот, что в то время почти наверняка означало летальный исход. Такая рана не удивительна, если противники стрелялись с расстояния в несколько метров; если же дрались на 25 шагах, то перед нами еще один пример злой судьбы, преследовавшей Галуа.
Скончался он в больнице Кошен не через два часа, как утверждал Le Precursor , а на следующий день, 31 мая. Причиной смерти был перитонит; умирающий отказался от услуг священника. 2 июня 1832 года Галуа был похоронен в общей могиле на Монпарнасском кладбище.
Его письмо к Шевалье заканчивалось такими словами:
Попросите Якоби или Гаусса публично высказать свое мнение — не о верности, а о важности этих теорем. Я надеюсь, что со временем появятся люди, которые захотят, к большой пользе для себя, расхлебать всю эту кашу.
|
|
|
Но что же на самом деле сделал Галуа? В чем состояла эта «каша», о которой он говорит в своем последнем письме?
Ответ на этот вопрос занимает центральное место во всем нашем рассказе, и его нелегко выразить в паре предложений. Галуа познакомил математику с новой точкой зрения, он изменил ее содержание и сделал необходимый, но непривычный шаг в сторону абстракции. В руках Галуа математика перестала быть наукой о числах и формах — арифметикой, геометрией и набором связанных с ними идей, таких как алгебра и тригонометрия. Она стала наукой о структурах . То, что было исследованием вещей , стало исследованием процессов!
Не следует приписывать всю заслугу в этой трансформации одному лишь Галуа. Он оказался на гребне волны, которую привели в движение Лагранж, Коши, Руффини и Абель. Но он двигался на ней с таким мастерством, что сделал ее своей собственной; он был первым, кто всерьез осознал — математические вопросы порой легче всего понять, если перенести их в область более абстрактных рассуждений.
|
|
|
Потребовалось некоторое время, чтобы красота и значение результатов Галуа пробили себе дорогу к широкому математическому сознанию. На самом деле их едва не потеряли. Спас их Жозеф Лиувилль, сын капитана Наполеоновской армии, ставший профессором в Коллеж де Франс. Лиувилль выступал перед французской Академией — собранием, которое затеряло или отвергло три мемуара Галуа — летом 1843 года.
«Я надеюсь заинтересовать Академию, — начал он, — рассказом о том, что среди бумаг Эвариста Галуа я обнаружил решение, точность которого не уступает его глубине, такой замечательной задачи: узнать, существует или не существует решение в радикалах…»
Если бы Лиувилль не взял на себя долгий труд разбираться в бумагах неудачливого революционера, нередко неаккуратных и путаных рукописях, и не потратил бы значительное время и немалые усилия на угадывание того, что хотел сказать автор, эти рукописи, скорее всего, исчезли бы вместе с мусором, а теории групп пришлось бы ждать, пока те же идеи откроют заново. Так что математика в большом долгу перед Лиувиллем.
Понимание предложенных Галуа методов росло, рождалась новая мощная математическая концепция — концепция группы. Целая ветвь математики — исчисление симметрий, называемое теорией групп — появилась на свет и с тех пор проникла в каждый уголок математики.
|
|
|
Галуа работал с группами перестановок. Перестановка — это способ переупорядочить список объектов. В его случае объектами были корни алгебраического уравнения. Простейший из содержательных примеров дается кубическим уравнением общего вида, у которого имеются три корня a, b и с . Напомним, что есть шесть способов переставить эти символы и что — следуя Лагранжу и Руффини — можно перемножать любые две перестановки, выполняя их последовательно. Мы видели, например, что cba×bca = acb. Действуя подобным же образом, можно построить «таблицу умножения» для шести перестановок. Чтобы было яснее видно, что происходит, припишем каждой перестановке имя, например, положим I = abc, R = acb, Q = bac, V = bca, U = cab и P = cba . Тогда таблица умножения будет выглядеть следующим образом.
| I | U | V | P | Q | R | |
| I | I | U | V | P | Q | R |
| U | U | V | I | R | P | Q |
| V | V | I | U | Q | R | P |
| P | P | Q | R | I | U | V |
| Q | Q | R | P | V | I | U |
| R | R | P | Q | U | V | I |
Элемент этой таблицы, стоящий в строке X и столбце Y , представляет собой произведение XY , получаемое по правилу «сначала Y , потом X ».
Галуа понял, что некое очень простое и очевидное свойство этой таблицы оказывается исключительно важным. Произведение любых двух перестановок само является перестановкой; во всей таблице содержатся только символы I, U, V, P, Q, R. Некоторые меньшие наборы, состоящие из перестановок, обладают тем же «групповым свойством» — произведение любых двух перестановок из набора также представляет собой перестановку из этого набора. Галуа назвал такой набор перестановок группой.
Например, набор [I, U, V] дает меньшую таблицу — таблицу умножения для подгруппы из трех перестановок.
| I | U | V | |
| I | I | U | V |
| U | U | V | I |
| V | V | I | U |
Здесь возникают только те же три символа. В такой ситуации, когда одна группа является частью другой, она называется подгруппой.
Другие подгруппы — а именно [I, P], [I, Q] и [I, R] — содержат только по две перестановки. Имеется также подгруппа [I] , состоящая только из I . Можно доказать, что эти шесть подгрупп исчерпывают список подгрупп в группе всех перестановок на шести символах.
Итак, говорит нам (хотя и на несколько ином языке) Галуа, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Предположим, например, что между корнями a и b имеется алгебраическое соотношение a + b 2 = 5. Является ли перестановка R симметрией? Ну, если следовать данному выше определению, то R оставляет a на месте, но меняет местами b и c, так что должно быть выполнено еще и условие a + c 2 = 5. Если оно не выполняется, то R определенно не является симметрией. Если же выполняется, то надо проверить все остальные алгебраические соотношения между корнями, которые могут иметь место, и если R пройдет все эти проверки, то, значит, R — симметрия.
Нахождение того, какие именно перестановки являются симметриями данного уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть что-то, в чем можно быть уверенным вообще без всяких вычислений: набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней.
Почему? Предположим, например, что и P , и R сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Если взять некоторое соотношение и применить R , то получится верное соотношение. Если далее применить P , то снова получится верное соотношение. Но применение R , а затем P — это то же самое, что применение PR. Следовательно, PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым свойством.
Этот простой факт лежит в основе всего сделанного Галуа. Он говорит нам, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа — его группа симметрии; сейчас она называется группой Галуа в честь своего изобретателя. Причем группа Галуа любого уравнения всегда является подгруппой в группе всех перестановок его корней.
Из этого ключевого усмотрения вырастает естественная стратегия атаки. Узнаем, какие подгруппы возникают в каких обстоятельствах. В частности, если уравнение можно решить в радикалах, то группа Галуа этого уравнения должна отражать этот факт в своей внутренней структуре. Далее, задавшись любым уравнением, находим его группу Галуа и проверяем, действительно ли она обладает требуемой структурой. Таким образом мы получаем ответ на вопрос о разрешимости в радикалах.
А далее Галуа переформулировал всю задачу с совершенно иной точки зрения. Вместо построения башни с лестницами он вырастил некое дерево.
Не то чтобы он сам называл свой метод «деревом» — так же как не упоминал Абель о «башне» Кардано, однако идею Галуа можно, тем не менее, изобразить как процесс, который снова и снова ответвляется от центрального ствола. Ствол — это группа Галуа данного уравнения. Ветви, веточки и листья — различные подгруппы.
Подгруппы возникают естественным образом, как только мы задумаемся о том, как изменяются симметрии уравнений, когда мы начинаем брать радикалы. Как изменяется группа? Галуа показал, что если извлекается корень p- й степени, то группа симметрии должна разбиться на p различных блоков одинакового размера. (Здесь, как заметил Абель, всегда можно предполагать, что число p простое.) Так, например, некая группа из 15 перестановок может разбиться на 5 групп из 3 элементов каждая или на три группы из 5 каждая. Существенно важно, что блоки должны удовлетворять некоторым очень строгим условиям; в частности, один из них должен сам по себе образовывать подгруппу некоторого специального вида, известного под именем «нормальной подгруппы индекса p ». Можно представлять себе, что ствол дерева разбился на p меньших веток, одна из которых соответствует нормальной подгруппе.
Нормальные подгруппы в группе всех шести перестановок на трех символах таковы: вся группа [I, U, V, P, Q, R], подгруппа [I, U, V] (таблицы умножения которых мы только что видели) и подгруппа из одной-единственной перестановки, т.е. [I] . Три другие подгруппы, содержащие каждая по две перестановки, не являются нормальными.
Пусть, например, мы желаем решить общее уравнение пятой степени. Имеется пять корней, так что наши перестановки будут перестановками на пяти символах. Таких перестановок ровно 120. Коэффициенты уравнения, будучи полностью симметричными, обладают группой, состоящей из всех 120 перестановок. Эту группу мы будем представлять себе как ствол дерева. Каждый отдельный корень обладает группой, которая содержит лишь одну перестановку — тривиальную. Так что у дерева 120 листьев. Наша цель состоит в том, чтобы соединить ствол с листьями, добавляя ветви и веточки, структура которых отражала бы свойства симметрии различных величин, возникающих, если начать возиться с формулой для корней, которые, по нашему предположению, выражаются в радикалах.
Пусть для удобства рассуждений первый шаг в формуле состоит в извлечении корня пятой степени. Тогда группа из 120 перестановок должна разбиться на 5 кусков, в каждом из которых содержится по 24 перестановки. Так что у дерева вырастут пять ветвей. Технически это ветвление должно соответствовать нормальной подгруппе индекса 5.
Однако Галуа смог доказать — просто изучая перестановки, — что такой нормальной подгруппы не существует.
Ладно, может быть, следует начать, скажем, с корня седьмой степени. Тогда 120 перестановок должны разбиться на семь блоков одного и того же размера — что невозможно, поскольку 120 не делится на 7. Значит, корня седьмой степени нет. На самом деле нет никаких корней простой степени, за исключением 2, 3 и 5, потому что именно таковы простые делители числа 120. А мы как раз исключили 5.
Что же тогда, начнем с кубического корня? К сожалению, не получится: группа из 120 перестановок не имеет нормальной подгруппы индекса 3.
Все, что осталось, — квадратный корень. Имеется ли в группе из 120 перестановок нормальная подгруппа индекса 2? Имеется, причем ровно одна. Она содержит 60 перестановок и называется знакопеременной группой . Так что, используя теорию групп Галуа, мы установили, что любая формула для решения общего уравнения пятой степени должна начинаться с квадратного корня, что приводит к знакопеременной группе. При первом ветвлении ствола появляются всего две ветви.
Но всего имеется 120 листьев, так что дерево должно и дальше как-то ветвиться. Как оно это делает? Простые делители числа 60 — это те же 2, 3 и 5. Так что каждая новая ветвь должна делиться на две, три или пять веточек. Другими словами, нам надо добавить или еще один квадратный корень, или кубический корень, или корень пятой степени. Более того, это можно сделать, если, и только если, знакопеременная группа содержит нормальную подгруппу индекса 2, 3 или 5.
Но содержит ли она такую нормальную подгруппу? Вопрос этот — целиком вопрос о перестановках на пяти символах. Исследуя такие перестановки, Галуа смог доказать, что в знакопеременной группе вообще нет нормальных подгрупп (за исключением всей группы и тривиальной подгруппы [I] ). Это «простая» группа, одна из тех основных компонент, из которых можно построить все группы.
Не нашлось достаточного количества нормальных подгрупп, чтобы соединить ствол со всеми листьями при помощи ветвлений на простое число веток на каждом шаге. Так что процесс решения уравнения пятой степени в радикалах натыкается на внезапную остановку после того первого шага, заключающегося в добавлении квадратного корня. Идти больше некуда . Нет дерева, по которому можно было бы добраться от ствола до листьев, а потому нет формулы для корней в терминах радикалов.
Доказательство Галуа неразрешимости уравнения пятой степени.
Та же идея работает для уравнений степени 6, 7, 8, 9 — любой степени, старшей 5. Теперь неизбежно возникает вопрос, а почему же уравнения второй, третьей и четвертой степени, тем не менее, разрешимы? Чем выделены степени 2, 3 и 4? В действительности теория групп точно говорит нам, как решить уравнения второй, третьей и четвертой степени. Я оставлю в стороне технические подробности, а вместо этого просто покажу как выглядят деревья. Они в точности соответствуют классическим формулам.
Использование групп для решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней.
Теперь мы начинаем видеть красоту идеи Галуа. Из нее следует не только доказательство неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах, но и объяснение, почему общие уравнения второй, третьей и четвертой степени все же имеют решения в радикалах; более того, примерно видно то, и как эти решения устроены. Если поработать еще немного, можно извлечь и точный вид этих решений. Наконец, подход Галуа позволяет отличить те уравнения пятой степени, которые нельзя решить, от тех, которые можно, и говорит нам, как решить эти последние.
Группа Галуа всякого уравнения сообщает нам все, что мы можем пожелать узнать о его решениях. Так почему же Пуассон, Коши, Лакруа и все остальные специалисты не запрыгали от радости, увидев, что же сделал Галуа?
Группа Галуа хранит ужасную тайну.
Тайна эта такого рода. Самый простой способ получить группу какого-либо уравнения состоит в использовании свойств его корней. Но, разумеется, все дело как раз в том, что мы, как правило, не знаем, каковы эти корни. Не будем забывать, что цель состоит в решении уравнения, то есть в нахождении его корней.
Предположим, что кто-то подарит нам конкретное уравнение пятой степени, скажем
x 5 − 6x + 3 = 0
или
x 5 + 15x + 12 = 0
и попросит использовать методы Галуа, чтобы определить, можно ли решить его в радикалах. Вполне законный вопрос.
Страшная правда состоит в том, что с использованием методов, доступных Галуа, нет никакого способа на него ответить. Можно утверждать, что скорее всего соответствующая группа содержит все 120 перестановок — и если это так, то тогда решить уравнение нельзя. Но мы не знаем наверняка, действительно ли появляются все 120 перестановок. Быть может, пять корней удовлетворяют некоторому специальному условию. Откуда нам знать?
Сколь бы красивой ни была теория Галуа, ей присущи жесткие ограничения. Она имеет дело не с коэффициентами, а с корнями. Другими словами — не с тем, что известно, а с тем, что неизвестно.
Сегодня можно зайти на подходящий математический веб-сайт, ввести туда свое уравнение, и сайт вычислит для вас его группу Галуа. Сегодня известно, что первое из приведенных выше уравнений не разрешимо в радикалах, а второе разрешимо. Я хочу подчеркнуть здесь не то, что мы используем компьютер, а тот факт, что кто-то выяснил, какие шаги надо предпринять для решения задачи. Главнейшее после Галуа продвижение в этой области состояло в разработке способов вычисления группы Галуа любого заданного уравнения.
Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 102; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!