Оценивание параметров функции успеха в модели Бирнбаума
Пусть тест состоит из К различных заданий бинарного типа, (пытуемый получает 1, если ответил правильно и 0 при неверном ответе) и его выполняют N – студентов. В результате получается матрица ответов An,k состоящая из N- строк (i) и К – столбцов (j).
An,k=(aij)
Элементы матрицы ответов с вероятностью 
принимают значения равные 1 и с вероятностью 
значения равные 0:
,
где 
- дифференцирующая способность j- задания, 
- параметр трудности j- задания, 
- уровень подготовленности i – участника. Используя матрицу ответов необходимо выполнить оценку данных латентных параметров, например, используя метод наибольшего правдоподобия, основанный на том, что в качестве оценок параметров следует брать те значения, при которых функция правдоподобия принимает наибольшее из всех возможных значений [27]. В двухпараметрической модели Бирнбаума функция правдоподобия 
случайной дискретной величины балла aij будет функцией аргументов , 
и 
, являющейся плотностью совместного распределения наблюдаемых случайных величин и представляющей произведение вероятностей 
для всевозможных значений i и j:
В качестве точечных оценок латентных параметров 
, и принимают такие значения 
, 
и 
, при которых функция правдоподобия 
достигает глобального максимума, (такие оценки называют оценками наибольшего правдоподобия), т.е. для которых при любом допустимом наборе значений , и выполняется неравенство:
,
где 
, 
и определены с точностью до преобразования:
, 
, 
,
где 
и 
некоторые произвольные постоянные.
Поэтому необходимо найти значения , и при которых будут выполняться следующие условия:
(среднее значение статистической оценки уровня подготовленности) и 
(несмещенная оценка дисперсии среднего значения уровня подготовленности).
Необходимо отметить, что функции 
и 
достигают максимума при одних и тех же значениях своих аргументов, поэтому более удобно искать максимум функции . В данном случае:
.
Для нахождения максимума функции необходимо решить систему уравнений:
, i=1, 2, 3, ……, N
, j=1, 2, 3, ……., К
, j=1, 2, 3, ……., К
Полученная система состоит из (N+2K) уравнений с N неизвестными значениями уровней подготовленности участников , К – неизвестными значениями уровней трудности заданий и К - неизвестными значениями дифференцирующей способности К заданий. При решении данной системы уравнений возникает ряд трудностей. Во-первых, уравнения входящие в данную систему являются нелинейными и их решение можно осуществить только численными методами. Во- вторых, при увеличении числа испытуемых число уравнений неограниченно возрастает, что не позволяет применить для решения данной системы широко известный метод Ньютона. Кроме того, в рамках двухпараметрической модели, первичные баллы не являются достаточными статистиками, поэтому испытуемые, получившие одинаковые первичные баллы в одном и том же варианте теста, могут получить различный окончательный балл.
Ситуация еще более усложняется, если в процессе тестирования использовались параллельные варианты теста. Для каждого из вариантов будет своя шкала оценок уровней подготовленности, уровней трудности заданий и их дифференцирующей способности. И сравнение оценок латентных параметров из разных вариантов, без предварительного сведения к единой шкале является некорректным.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 226; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!