Связь структурной схемы с дифференциальным уравнением

Элементарные типовые звенья сложных систем управления и их реализация в приложении MatLab – Simulink

Описание систем.

Непрерывные процессы, протекающие в системах управления, могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями с соответствующими начальными условиями. Тогда если известен входной сигнал, выходной сигнал определяется в результате решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Одномерная линейная нестационарная система управления описывается дифференциальным уравнением:

(1)

с начальными условиями:

x(t₀)=x₀, x’(t₀)=x₀’,…, x^(n-1)(t₀)=x₀^(n-1)

где g(t) – входной сигнал, x(t) – выходной сигнал, t – текущее время, a_i(t) и b_j(t) (где i=1,..,n а j=1,…,m) – коэффициенты, m и n заданные числа, t₀ – момент подачи входного сигнала.

Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется линейной стационарной:

(2)

в операторной форме уравнение (1) имеет вид:

D(p,t)x(t)=M(p,t)g(t)

Где p оператор дифференцирования , D(p,t) и M(p,t) – дифференциальные операторы левой и правой части уравнения (1)

уравнение (2) в операторной форме принимает вид:

D(p)x(t)=M(p)g(t)

Из операторной формы уравнения следует способ изображения стационарной системы на структурных схемах:

Сложные системы управления, как правило, состоят из элементарных и типовых звеньев.

Приведем некоторые из них:

Усилительное звено

Описывается уравнением: x(t)=K(t)g(t), где К коэффициент усиления, которым может быть равен const если звено стационарное

Изображение на структурной схеме:

Пример:

Трансформатор Uвых(t)=KUвх(t)

Дифференцирующее звено

Описывается уравнением (3)

Операторная форма: x(t)=pg(t)

Изображение на структурной схеме:

Интегрирующее звено

Описывается уравнением (4)

Операторная форма: px(t)=g(t) или x(t)=1/pg(t)

Изображение на структурной схеме:

Пример:

Изменение угловой скорости ω диска с моментом инерции J под действием управляющего момента внешних сил M из состояния покоя

Уравнение вращательного движения:

Отсюда получаем

Замечание вышеупомянутые звенья называются элементарными, так как их нельзя получить через другие.

Апериодическое звено

Описывается уравнением (5)

где число T называют постоянной времени.

Операторная форма: (Tp+1)x(t)=pg(t)

Изображение на структурной схеме:

Пример:

Схема с заданным сопротивлением R и емкостью С (в начальный момент времени емкость не заряжена)

требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, и найти выходное напряжение при условии подачи на вход постоянного напряжения единичной величины. Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношения связывающие ток и напряжение на емкости, и начальные условия:

U_вых+iR=U_вх

i=C

U_вых(t₀)= U_вых(0)=0

Отсюда следует

Используя обозначения T=RC, x=U_вых, g=U_вх , получаем уравнение вида (5)

Если g(t)=U_вх(t)=1(t), то решение имеет вид:

x(t)=1-e^(-t/T)

Колебательное звено

Описывается уравнением (6)

где число T называют постоянной времени, ξ – коэффициент демпфирования, |ξ|<1.

Изображение на структурной схеме:

Пример:

Схема с заданным сопротивлением R индуктивностью L и емкостью С (в начальный момент времени емкость не заряжена, так же ток в цепи отсутствует). Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения.

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношения связывающие ток и напряжение на емкости, и начальные условия:

Отсюда

по сравнению с (6) здесь: T= , ξ= , U_вых=x, U_вх=g

Все вышеперечисленные звенья можно реализовать в системе Simulink следующим образом:

Связь структурной схемы с дифференциальным уравнением

Структурные схемы строятся с помощью элементарных, типовых звеньев и сумматоров, описывающих преобразование сигналов. Они служат одним из языков описания систем управления. По структурным схемам, как правило, находится эквивалентный оператор системы управления, а затем решаются различные задачи анализа.

Алгоритм построения структурной схемы

выразить член со старшей производной из дифференциального уравнения и представить полученное соотношение с помощью сумматора, дифференцирующих и усилительных звеньев.
все низшие производные получить как сигналы на соответствующих выходах последовательно интегрирующих звеньев
начальные условия представить как постоянные во времени воздействия, приложенные на выходах интегрирующих звеньев

Пример:

Построить структурную схему системы, описываемой дифференциальным уравнением

4x’’-3x’+x=2g’

с начальными условиями x(0)x₀, x’(0)=x’₀

Решение:

Выразим из уравнения член со старшей производной

4x’’=2g’+3x’-x

Изобразим схему получения сигнала 4x’’. С помощью усилительного звена с коэффициентом усиления ¼ получим сигнал x’’. построим прямую цепь схемы, последовательно преобразовывая сигналы x’’ интегрирующими звеньями. Добавляя на выходах интегрирующих звеньев соответствующие начальные условия, получаем часть прямой цепи схемы, в которой присутствует выходной сигнал и его производные x’, x’’. Изображаем сумматор, выходным сигналом которого служит 4x’’. На этом сумматоре нужно реализовать равенство 4x’’=2g’+3x’-x. Для этого добавляем к прямой цепи соединение дифференцирующего и усилительных звеньев, которые из входного сигнала g позволяют получить нужный сигнал 2g’ на входе сумматора. Сигналы x и 3x’ подаем на сумматор с соответствующим знаком, используя обратные связи, и получаем необходимую структурную схему:

В среде Simulink данная схема реализовывается следующим образом:

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 1092; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!