Использование монотонности функции
Пусть на промежутке задана возрастающая функция и требуется решить неравенство (или ). Если – корень уравнения , причем , то решения данного неравенства – весь промежуток (соответственно промежуток ). Единственность корня следует из монотонности . Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число , а если функция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка.
Пример 30. Решить неравенство .
Решение: Заметим, что левая часть данного неравенства – возрастающая функция (обозначим ее через ). При левая часть равна правой. Учтем ОДЗ исходного неравенства и рассмотрим его на промежутке . Имеем , то есть данное неравенство выполняется. При по той же причине (из-за возрастания функции ) , то есть данное неравенство не выполняется. Так как исследование проведено при всех допустимых значениях , решение закончено.
Ответ:
Использование ОДЗ
Пример 31. Решить неравенство .
Решение:ОДЗ этого неравенства есть все из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .
Для из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.
Пусть принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких , и, значит, на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений.
|
|
Ответ: решений нет.
Пример 32. Решите уравнение
Решение. Преобразуем подкоренное выражение
.
ОДЗ: . Уравнение принимает вид
. Оно имеет решение только, если . Возведем в квадрат
. Второй корень не удовлетворяет условию .
Пример 33. Решить неравенство
Решение. Найдем ОДЗ:
. 1) Если , то обе части неравенства отрицательные. Умножим обе части неравенства на отрицательное число , получим
.
2) Если , то обе части неравенства положительные. Умножим обе части неравенства на положительное число , получим
Иррациональные неравенства, содержащие знак модуля
Пример 34. Решите неравенство . Ответ: .
Решение.
Решим неравенства заменой .
. Общее решение:
Пример 35. Решить неравенство Ответ:
Решение.
Системы иррациональных уравнений и неравенств
И методы их решения
Методы решения систем иррациональных уравнений и неравенств, сводятся к методам решения иррациональных уравнений и неравенств, входящих в систему.
Пример 36. Решите систему
Решение: Область допустимых значений неизвестных:
|
|
Положим , тогда получим систему уравнений:
Ответ:
Пример 37. Решите систему уравнений
Решение: Положим , тогда , второе уравнение примет вид:
Таким образом, получим: Подставляя в первое уравнение, найдем значение :
Подставим второе значение и найдем и :
Ответ:
Пример 38. Решите систему
Решение: Область допустимых значений определяется совокупностью двух систем неравенств:
Преобразуем первое уравнение системы:
поскольку
Положим получим квадратное уравнение:
Поскольку , то первый корень является посторонним, остается один корень Систем уравнений примет вид:
Умножим первое уравнение на 15, а второе на -16 и сложим левые и правые части этих уравнений, придем к однородному уравнению.
Заметим, что и , в противном случае, второе уравнение обращается в ложное равенство:
Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:
Положим тогда получим квадратное уравнение:
тогда и
Получим две системы уравнений: (1) и (2)
Решим первую систему: Эта система решений не имеет.
Решим вторую систему:
Обе пары значений входят в область допустимых значений.
Ответ:
Домашнее задание № 1
|
|
Класс
1. Решить уравнение
2. Решить уравнение
3. Решить уравнение
4. Решить уравнение
5. Решить уравнение
6. Чему равна сумма целочисленных решений неравенства ?
7. Решить неравенство .
8. Решить неравенство .
9. Решить неравенство .
10. Решить неравенство .
11. Решите неравенство
12. Решить неравенство
13. Решить неравенство
14. Решите систему уравнений
15. Решите неравенство .
16. Решите неравенство .
17. Решить неравенство .
18. Найти максимальное и минимальное значение функции на множестве решений неравенства .
19. Решить неравенство
20. Найдите наименьший из корней уравнения
Желаем успехов!
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 257; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!