Переходные режимы от сильного поля к слабому

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒

Из уравнений (2.3.1–2.3.4) или (2.3.6–2.3.8) следуют уравнения, описывающие эти участки; для первого

, (5.2.1)

, (5.2.2)

, (5.2.3)

для второго

, , (5.2.4)

, (5.2.5)

, , (5.2.6)

для ; или

, (5.2.7)

, (5.2.8)

, (5.2.9)

для ; для третьего участка имеем

, (5.2.10)

, (5.2.11)

. (5.2.12)

Сшивая решения по граничным зонам значениями и , можно построить линейные зависимости

Следует заметить, что деление на указанные участки, возможно, должно быть скорректировано при условии допустимых напряжений, действующих со стороны гравитационного поля “дыры” на ракету как на протяженное тело. Данный вопрос нами не изучается.

Рис.4. Зоны деления гравитационных и реактивных сил

Особенности оптимального выведения ракеты в поле Шварцшильда

Покажем на основе ряда допущений качественные особенности функции угла тангажа при выведении ракеты, не приводя подробных расчетов. Рассмотрим уравнения (2.3.6) и (2.3.7). Для простоты заменим решение (2.3.8) интегралом энергии в поле Шварцшильда, пренебрегая энергией реактивного поля

, (5.3.1)

где , – радиус начальной круговой орбиты выведения, – угловая скорость ракеты на ней. Обозначим , – реактивное ускорение, для упрощения считаем , что оно действует по касательной к траектории, а угол тангажа совпадает с углом : . Далее, обозначим , , , , где , – некоторые безразмерные координаты; наконец, обозначим первый член в (2.3.6) с учетом (5.3.1) как

, (5.3.2)

где – отношение силы тяжести на начальной орбите к радиусу . Далее примем

, (5.3.3)

пренебрегая вторым членом в (2.3.2), получим окончательно

, (5.3.4)

, (5.3.5)

, (5.3.6)

. (5.3.7)

Далее решается вариационная задача о нахождении функции при заданных граничных условиях, дающих максимум высоты

. (5.3.8)

Задача на условный экстремум с дифференциальными связями решается просто: составляется функция Лагранжа

, (5.3.9)

где – некоторые дифференцируемые функции от . Обратим внимание, что в поле гравитации , таким образом, время (или интервал ) зависит от гравитационного радиуса . Итак, из (5.3.4)¸(5.3.7) имеем

, (5.3.10)

, (5.3.11)

, (5.3.12)

. (5.3.13)

Функционал, максимум которого будем искать, имеет вид

. (5.3.14)

Запишем первую вариацию для

, (5.3.15)

где

Экстремальное значение функционала соответствует равенству нулю его первой вариации . Приравнивая нулю множители, стоящие под знаком интеграла перед вариациями , , , , получим систему дифференциальных уравнений для величин , , , и конечные соотношения для

, (5.3.16)

, (5.3.17)

, (5.3.18)

, (5.3.19)

. (5.3.20)

Из последнего уравнения

. (5.3.21)

Решение (5.3.17–5.3.20) имеет вид (для , )

, (5.3.22)

. (5.3.23)

Таким образом, функция (угол тангажа) есть

. (5.3.24)

Из (5.3.24) видно, что угол тангажа в третьей зоне зависит не только от времени удаленного наблюдателя , но и от отношения гравитационного радиуса к радиусу , которая также зависит от времени . Другими словами, зависимость от времени, в отличие от ньютоновского подхода – нелинейная.

5.4. Вопросы устойчивости ракеты (зонда) вблизи “черной дыры”

При подлете к сколлапсированной звезде следует учитывать особенности допустимых орбит. Уже в 1949 году астрофизиком Л.Капланом [22] было доказано, что ближе, чем на три гравитационного радиуса, нельзя подходить к звезде, поскольку не существует устойчивых орбит. Зонд может быть, как было отмечено выше, “поглощен” “черной дырой”, сразу или после многократного вращения, может быть выкинут из орбиты по гиперболе – все зависит от момента количества движения ракеты. Оказывается, устойчивы круговые орбиты , на которых можно изучать характеристики “черной дыры”. Покажем это на примере движения ракеты при воздействии постоянного радиального реактивного ускорения . Из уравнения (2.3.8) следует интеграл