Интегральное исчисление функции»

Цели:

– формирование навыков нахождения неопределенных интегралов методом замены переменной;

– формирование навыков вычисления определенных интегралов методом замены переменной;

– формирование навыков вычисления площади криволинейных фигур с помощью определенного интеграла

Первообразная Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка .

Свойство первообразной. Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

. Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

Согласно определению, .

Свойства неопределенного интеграла.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: .
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
.

Таблица интегралов:

; (при п ¹ –1); ;

(при а > 0, a ¹ 0);

; ; ;

(при );

(при a ¹ 0);

;

(при a ¹ 0); .

Приемы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, основанный на применении четвертого и пятого свойств неопределенного интеграла, называется методом разложения или методом непосредственного интегрирования.

Пример. Найдем:

1) , 2) ,

3) .

Решение.

1)Представим интеграл в виде суммы интегралов и, произведя вынесение коэффициентов за знак интеграла, сведем их к табличным:

2) Возведя в квадрат подынтегральное выражение, повторим операцию, рассмотренную в предыдущем примере:

3) Произведя почленное деление подынтегрального выражения на х³, получим:

Метод замены переменной

Один из основных методов интегрирования – метод замены переменной (или метод подстановки), описывается следующей формулой:

Однако, новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала) на основании теоремы:

Теорема. Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Тогда , где k и b – некоторые числа, причем k ¹ 0.

Пример. Найдем 1) , 2)

Решение.

Так как аргумент экспоненты имеет сложный вид, введем новую переменную

. Тогда

Произведя подстановку, получим:

2) Так как аргумент подынтегральной функции имеет вид , где , то, применяя вышеназванную теорему, получим:

Интегрирование по частям

Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два множителя и и dv. При переходе к правой части первый их этих множителей дифференцируется, а второй интегрируется.

Пример. Найдем .

Решение. Применим метод интегрирования по частям.

Положим, что . Тогда .

Подставляя выражения в вышеуказанную формулу, получим:

Метод неопределенных коэффициентов

При интегрировании дробно-рациональных функций применяется метод неопределенных коэффициентов. Подынтегральная функция раскладывается на дроби, знаменатели которых представляют собой двучлены первой степени, а числители содержат постоянные: . В качестве элементарной дроби может рассматриваться и дробь следующего вида: . При этом исходный интеграл сводится к сумме табличных интегралов.

Пример. Найдем .

Решение. Подынтегральная функция разлагается на эламентарные функции вида: .

Приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим систему уравнений:

Таким образом, получим:

Первый и третий из полученных интегралов решим методом введения новой переменной, приняв в первом случае , а во втором . В итоге получим:

Интегрирование иррациональных функций

Интегралы вида рационализируется заменой переменной .

Интегралы вида являются частным случаем интегралов от дробно-линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида , которые допускают рационализацию посредством замены переменной .

Пример. Найдем: 1) ; 2) .

Решение.

1) Подынтегральная функция содержит радикалы второй и третьей степени. Наименьшее общее кратное равно 6, т. е. данный интеграл рационализируется подстановкой . Тогда Следовательно, имеем:

Введите новую переменную, приняв . Проинтегрировав выражение и вернувшись к исходным данным, получим:

2) Положим .

Тогда Следовательно,

Метод универсальной подстановки

Интегралы от трансцендентных функций вида могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где . Тогда, используя выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла и правила дифференцирования, получим:

Пример. Найдем

Решение. Положим . Используя вышеуказанные замены, найдем:

Определенный интеграл

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂,… и точек x₁, x₂,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у=f(x) на [a; b], обозначается , а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на [a; b], т.е.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

4. Если на отрезке [a; b] f(x) £ g(x), то и £ .

5. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое значение x Î [a; b], что .

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) первообразная функцией для функции f(x) на отрезке [a; b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .

Пример. Вычислим следующие интегралы:

1) ; 2) .

Решение. Эти задачи на непосредственное применение формулы Ньютона – Лейбница:

1) ;

Метод замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство:

Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Как видите, использование введения новой переменной в определенном интеграле производится аналогично тому, как это производилось в неопределенном интеграле. Однако в этом случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной. Достаточно рассчитать и подставить новые пределы интегрирования.

Пример. Вычислим .

Решение. Положим . Тогда . Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов: , . Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим:

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.