Односторонние пределы функции

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 25Следующая ⇒

Левосторонний предел функции.Если отыскивается предел функции f( x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции f (х) (или левым пределом функции).

Для того чтобы показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употребляется запись: , а левосторонний предел функции обозначается символом: .

Правосторонний предел функции.Если отыскивается предел функции f( x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции f( x) (или правым пределом функции).

То, что х, стремясь к а, остается больше а, обозначается так: , а правосторонний предел функции обозначается символом: .

Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда .

Определение Функция f( x) называется непрерывной при х = а, если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f( a). То есть:

Точки разрыва и их классификация

Если равенство в какой-либо его части не выполняется, то о точке говорят, что она является точкой разрыва.

Точка разрыва первого рода

Определение. Если левосторонний предел функции и ее правосторонний предел существуют, но не равны, между собой, т. е. если

то точка а называется точкой разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

а) б)

Определение. Если в точке х = а не существует конечный левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода.

На рис., а отсутствует левосторонний предел функции; на рис. 3, б – нет правостороннего предела функции.

На рис. представлен график функции, которая не имеет в точке х = а ни левостороннего, ни правостороннего предела. Во всех этих случаях говорят, что функция в точке х = а терпит разрыв второго рода (иначе: точка х = а — точка разрыва второго рода).

Устранимый разрыв

Определение. Если в точке х = а функция f( x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f( a), то точка х = а называется точкой устранимого» разрыва.

Таким образом, в этом случае . Разрыв «устраняется» тем, что полагают , т. е. принимают, что .

Пример. Пользуясь определением непрерывности функции через предел , докажем, что функция непрерывна в произвольной точке.

Решение. Выразим приращение функции при произвольном приращении аргумента в некоторой точке х:

Подставим полученные выражения в формулу приращения функции, и после упрощения получим:

Найдем предел приращения функции при приращении аргумента, стремящемся к 0:

В итоге получаем, что при любом значении х предел приращения функции равен нулю, что доказывает ее непрерывность при любом значении х.

Пример. Исследуем на непрерывность при х = 1 следующую функцию:

Решение. Так как знаменатель дроби равен нулю при , то функция разрывна при . Установим характер этой точки разрыва. Найдем сначала левосторонний предел функции:

Если , то можно представить , и считать, что , оставаясь положительной, стремится к нулю. Заменяя х на , получим:

так как при величина бесконечно большая, также бесконечно велика, – бесконечно большая величина, обратная ей величина бесконечно мала: , а потому

Теперь определим правосторонний предел функции. Если х →1 + 0, можно положить х = 1 + α (α > 0) и считать, что α, оставаясь положительной, стремится к нулю.

Тогда, заменяя х на 1 + α, получим:

так как при

величина

бесконечно большая,

также бесконечно велика,

– величина бесконечно малая, т.е. ее предел будет равен 0.

Итак, у функции существуют и левосторонний предел, равный 2, и правосторонний предел, равный 3, но между собой они не равны. Из этого мы заключаем, что точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода.

Пример. Построим графики и определим, какого рода разрыв имеет функция в данной точке (если точка не указана, определим точки разрыва самостоятельно):

1) , 2) 3) .

Решение.

1) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис., а).

2) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис., в).

3) функция имеет точки разрыва и . В обеих точках функция имеет разрыв второго рода (см. рис., б).


а)	б)	в)

Пример. Исследуем на непрерывность функцию в точке х = 2.

Решение. Так как при х = 2 функция не существует и тем самым нарушено первое условие непрерывности, то в этой точке функция терпит разрыв. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции:

Таким образом, существуют равные односторонние пределы данной функции в точке х = 2. Разрыв можно «устранить», если значение функции в этой точке принять равным 12, т. е. если условиться, что

Точка х = 2 — точка «устранимого» разрыва. Графиком функции является парабола, на которой нет точки с абсциссой х = 2 (см. рис.).

На графике эта точка обозначена кружком и к ней направлены стрелки. Сплошной ход кривой в этой точке оборвался. Слева и справа от точки х = 2 график функции — непрерывная линия.

Задание 1. Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный 2.

Задание 2. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что:

Задание 3. Найти:

(Ответ 1) , 2) 2, 3) , 4) 0.)

Задание 4. Вычислите пределы:

1) ; 2) ; 3) .

(Ответ. 1) 61, 2) 3, 3) 12.)

Задание 5. Найдите пределы 1) ; 2) .

(Ответ. 1) 2) 0.)

Задание 6. Вычислите пределы: 1) 2) 3)

(Подсказка. В третьем задании разложите и введите новую переменную . Ответ. 1) 18, 2) 9, 3) е².)

Задание 7. Исследуйте на непрерывность функции:

1) 2) .

(Ответ. 1) функция непрерывна всюду, кроме значений и , 2) функция непрерывна всюду, кроме )

Задание 8. Пользуясь вторым определением непрерывной функции, доказать, что следующие функции непрерывны при любом значении х:

1) ; 2)

Задание 9. Испытать на непрерывность функции:

1) при х = 2; 2) при х = 0.

3) Какого рода разрыв имеет функция в точке х = 0. Начертить график.

(Ответ. 1) точка х = 2 – точка разрыва первого рода, т.к. левосторонний и правосторонний пределы соответственно равны и 0; 2) х = 0 – точка разрыва первого рода; 3) разрыв второго рода.)

Задание 10. Исследовать на непрерывность функцию и начертить график функции. Чему должно быть равно , чтобы пополненная этим значением функция была непрерывна при х = –3?

(Ответ. Точка х = –3 – точка «устранимого» разрыва. Следует взять .)

Вопросы для самоконтроля

Дайте определение предела последовательности.
Дайте определение предела функции.
Сформулируйте теоремы о пределе функции.
Дайте определения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Назовите основные неопределенности при вычислении пределов функции.
Объясните основные методы раскрытия неопределенностей.
Дайте определение непрерывной функции.
Дайте определение точек разрыва функции 1 и 2 рода.

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .

2. Найти: 1) 2) 3) .

3. Вычислите при помощи первого или второго замечательных пределов: 1) 2)

4. Исследуйте на непрерывность и определите, какого рода разрыв имеет функция: 1) ; 2)

Вариант 2.

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .

2. Найти: 1) 2) 3) .

3. Вычислите при помощи первого или второго замечательных пределов: 1) 2)

4. Исследуйте на непрерывность и определите, какого рода разрыв имеет функция: 1) ; 2)

Вариант 3.

1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .

2. Найти: 1) 2) 3) .

3. Вычислите при помощи первого или второго замечательных пределов: 1) 2)

4. Исследуйте на непрерывность и определите, какого рода разрыв имеет функция: 1) ; 2)

Сроки выполнения задания: при изучении данной темы, в течение семестра.

Критерии оценки задания: для получения зачёта за самостоятельную работу по данной теме необходимо выполнить все задания любого из трёх предложенных вариантов, решая задания нужно делать ссылки на используемый теоретический материал. Оформляется работа в тетради для самостоятельных работ.

Самостоятельная работа № 3

«Показательная, логарифмическая и степенная функции»

Цели:

- формирование навыков определения вида функции, нахождение её области определения;

- формирование навыков решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ

Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению x соответствует определенное значение у.

Символически функциональная зависимость между переменной y (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства y=f(x). где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над .x, чтобы получить у.

Числовое значение функции, соответствующее данному числовому значению аргумента, называется частным значением этой функции. Например, функция y=f(x) при х = а принимает значение y=f(a).

Областью определения (существования) функции D(y) называется множество всех действительных значений аргумента х (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Множеством значений функции Е(у) называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать.

Для задания функции необходимо и достаточно задать закон соответствия f по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения D(y).

Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим способом.

1.Дана функция: . Найти: f(0), f(1), f(-1), f(2).

Чтобы вычислить значение f(0), надо в данную функцию вместо аргумента х подставить его значение x=0. Имеем .

Аналогично получим и

2. Найти область определения функций

1) 2) 3) 4)

1) Здесь на х не накладывается никаких ограничений, поэтому функция у=х2 определена на множестве R.

Если х=0, то у не имеет числового значения (на нуль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) у принимает действительные значения, поэтому областью определения служит вся числовая ось, кроме точки x=0.

Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Решив уравнение 2х—6=0, найдем его корень х = 3. Таким образом, область определения D(y) есть вся числовая ось, кроме точки х = 3.

Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение х2 — 5х + 6 = 0, найдем его корни: х{=2 и х2 = 3. Следовательно, область определения D(y)—вся числовая ось, кроме точек х = 2 и х = 3

3. Найти области определения функций:

1) 2) 3) 4)

1) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому функция определена для всех значений ч, удовлетворяющих неравенству , т.е.

2) решив неравенство , получим т.е.

3) Найдем область определения каждого из слагаемых; общая часть этих областей и будет областью определения данной функции. Для первого слагаемого , а для второго .

Тогда областью определения суммы служит промежуток

4) Функция определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству . Таким образом

Следовательно областью определения функции является совокупность промежутков:

дана функция . Найдите F(0), F(-1) и F(2)
даан функция . Найдите s(0) s(2) и s(-1)

1. дана функция Покажите что

2 дана функция покажите что

1 дана функция покажите что

2 дана функция покажите что

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

1. Логарифмическая функция.

Логарифмом числа N(N €€ R +) по основанию а(а>0, ≠ 1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число N, т. е.

Loga N=x a = N. (1)

Равенство (1), выражающее определение логарифма, можно переписать в виде

a =N. (2)

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Логарифмы при основании а =10 называются десятичными.

Функция (x€R,a>0, a≠0) называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции у=а (x€R, a>0, a≠0) Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 7).

Приведем основные свойства логарифмической функции.

1°. Область определения: D (у) = R .

2°. Множество значений функции: Е(у) = R, т.е. вся числовая прямая.

3°. Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: log 1 = 0, log =1.

4°. Функция (1< а < ∞) возрастает в промежутке 0<х<∞ (рис.8). Если 1<а<∞, то log x>0 при 1<х<∞ и <0 при 0схс 1, т.е. при 1<а<∞ логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны.

5°. Функция (0<а< 1) убывает в промежутке 0<х<∞ (рис. 8). Если 0<а<1, то <0 при 1<х<∞ и >0 при 0<х<1, т.е. при 0<а<1 логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а логарифмы чисел, больших единицы, отрицательны.

2. Алгебраические операции над логарифмами.

1°. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:

(3)

2°. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

(4)

3°. Логарифм степени положительного основания равен произведению показателя степени на логарифм основания степени:

(5)

4°. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:

(6)

3. Логарифмирование и потенцирование.

Если число х представлено алгебраическим выражением, содержащим числа а, Ь, с, ..., то найти логарифм этого выражения — значит выразить логарифм числа х через логарифмы чисел а, Ь, с, ... . Нахождение положительного числа по его логарифму называют потенцированием.

Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях.

1°. Формула перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b

(7)

2°. Зависимость между основаниями а и b выражается формулой

(8)

3°. Имеет место соотношение

15. Найти .

I способ. = = = - 2.

II способ. ( ) ((1 /6) = 36) (6 = 6 ); x=-2. •

16. Решить уравнения: l) ; 2) .

1) ( ) (x=6 ); x=1/36

2) (log 8 = - l/2) (x = 8) (x ) = 8 ); x=8 = l/64

17. Найти области определения следующих функций:

1) ; 2) ;

1) Здесь 8 - 2х>0, х<4, т.е. -∞ <D(у)<4.

2)Имеем 2х + 6>0, 2х>-6, х>-3, т.е. -3<D(у)<∞.

3) Имеем

18. Построить график функции

Областью определения функции служит бесконечный промежуток -∞<D(y) <2. Найдем точки пересечения графика с осями координат. Полагая у=0, получим уравнение , откуда х = 3/2. При х = 0 имеем . График функции изображен на рис. 9. ●

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 2101; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!