Тема 2. Кривые второго порядка
Практическое занятие № 4
Цель занятия. Изучить основные определения и термины по теме занятия, знать различные виды уравнения прямой, основные виды кривых второго порядка.
Основные вопросы темы:
· понятие прямой на плоскости
· виды уравнений прямой на плоскости
· угол между прямыми
· условие параллельности и перпендикулярности прямых
· расстояние от точки до прямой
· Окружность
· Эллипс
· Гипербола
· Парабола
ТЕМА 1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнение любой прямой 
, лежащей в плоскости XOY, является уравнением первой степени относительно текущих координат x , y и имеет вид
. (1)
Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.
Если свободный член С равен нулю, то уравнение прямой имеет вид 
, ему удовлетворяют координаты точки О(0; 0), а прямая проходит через начало координат. Если коэффициент А=0, то уравнение принимает вид 
. Его можно переписать в виде 
, и эта прямая проходит через точку 
параллельно оси ОХ. Если коэффициент В = 0, то уравнение прини-мает вид Ах + С = 0. Его можно переписать в виде 
, и эта прямая проходит через точку 
параллельно оси OY.
Из общего уравнения прямой (1) можно получить уравнение прямой в отрезках.
Перенесем слагаемое С в правую часть: 
. Разделим левую и правую часть уравнения на минус С: 
. Введем обозначения 
. Получим 
– (2)
|
|
|
уравнение прямой в отрезках, где 
– отрезок, отсекаемый прямой на оси ОХ, 
– отрезок, отсекаемый прямой на оси OY (рис. 1).
Рис. 1
Всякий ненулевой вектор 
, перпендикулярный прямой, назовем нормальным вектором этой прямой. Рассмотрим на плоскости XOY произвольную прямую 
(рис. 2).
 |
Рис. 2
Пусть точка 
– некоторая фиксированная ее точка и 
– произвольная точка. Тогда координаты вектора: 
.
Так как 
то их скалярное произведение равно нулю 
Выражая скалярное произведение через координаты векторов, запишем
. (3)
Полученное уравнение является уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору 
.
|
|
|
Уравнение прямой, проходящей через точку , с данным угловым коэффициентом k (где 
– угол между прямой и положительным направ-лением оси OX) имеет вид 
. (4)
Всякий ненулевой вектор 
, параллельный данной прямой или лежащий на ней, назовем направляющим вектором этой прямой.
Рассмотрим на плоскости XOY произвольную прямую (рис. 3). Пусть точка – некоторая фиксированная ее точка, а 
– произвольная точка. Тогда координаты вектора . Так как векторы 
коллинеарны, то пропорциональны их соответствующие координаты:
(5)
Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой.
Y
M
M1 
X
Рис. 3
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 
и 
, выражается формулой
|
|
|
. (6)
Пусть прямая задана общим уравнением (1). Разрешим его относительно y.
Введем обозначения 
. Окончательно получаем 
. (7)
Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Условием параллельности двух прямых 
с угловыми коэффициентами 
соответственно является равенство этих угловых коэффициентов: 
.
Условие перпендикулярности двух прямых выражается равенством 
или 
.
Если две пересекающиеся прямые не перпендикулярны, то тангенс угла φ между ними находится по формуле
. (8)
Пусть даны две прямые с уравнениями 
и 
и требуется найти точку их пересечения. Так как эта точка принадлежит каждой прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению как первой прямой, так и второй. Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, следует решить систему уравнений
Пусть на плоскости XOY заданы прямая и точка . Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки М1 на эту прямую. Это расстояние выражается формулой
|
|
|
. (9)
Задача 1. Даны координаты точек А(1; 2), В(2; 5), С(-3; 6). Найти:
а) уравнение стороны АС треугольника АВС;
б) уравнение высоты ВН, ее длину;
в) уравнения медиан СС1, АА1 треугольника АВС;
г) точку пересечения медиан СС1, АА1;
д) угол А треугольника АВС;
е) уравнения сторон AD, CD параллелограмма ABCD;
ж) координаты вершины D параллелограмма ABCD.
Решение.
а) Воспользуемся уравнением прямой (5), проходящей через две точки, где 
– координаты точки А, 
– координаты точки С.
, 
Ответ: Уравнение стороны АС: .
б) Найдем координаты вектора 
по формулам 
, 
. Так как высота ВН перпендикулярна вектору , он будет являться нормальным вектором этой прямой. Составим уравнение высоты, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку В(2; 5) перпендикулярно вектору нормали 
, где А=-4; В=4:
Длину высоты найдем, используя формулу (9), как расстояние от точки В до прямой АС (уравнение АС найдено в п. а)):
Ответ: Уравнение высоты ВН: x-y+3=0, ее длина 
.
в) Найдем координаты точки С1 – середины отрезка АВ:
.
.
Уравнение медианы СС1 составим, используя уравнение прямой, проходящей через две точки (5):
Уравнение медианы АА1 находится аналогично:
.
Ответ: Уравнение медианы СС1: 5х+9у-39=0,
уравнение медианы АА1: 7х+3у-13=0.
г) Точку пересечения медиан АА1 и СС1 найдем, решив систему их уравнений:
-16х = 0,
.
Ответ: точка пересечения медиан 
д) Найдем уравнение стороны АВ, используя формулу (6)
.
Выразим отсюда y и найдем k1 – угловой коэффициент стороны АВ:
Уравнение стороны АС найдено в пункте а) : 
.
Выразим у и найдем k2 – угловой коэффициент стороны АС:
Угол А найдем по формуле (7) как угол между прямой АВ и АС:
Ответ: Угол 
е) Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, используем уравнение прямой (5)
.
Найдем координаты 
вектора 
: 
. Координаты точки А(1;2), т.е. 
. Следовательно, уравнение стороны AD:
.
Аналогично находится уравнение стороны CD: 
, 
:
Ответ: AD: 
ж) Координаты четвертой вершины D параллелограмма ABCD найдем как точку пересечения прямых AD и CD. Решим систему
 |
Ответ: D(-4; 3).
Тема 2. Кривые второго порядка
Линия, которая в декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
.
Центром линии 2-го порядка называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично, парами. Линии 2-го порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.
Составим определитель вида
Если 
то отсюда следует, что линия 2-го порядка является центральной, и координаты центра 
могут быть найдены по формулам
, 
.
Определитель 
будет использоваться и в дальнейшем при проведении кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 183; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!