Перенос точки с развертки на поверхность

514.18(076)

М 74

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

Севастопольский государственный университет

Политехнический институт

Кафедра начертательной геометрии,

инженерной и компьютерной графики

МОДЕЛИРОВАНИЕ Сечений,

п е р е с е ч е н и й

И разверток поверхностей

Методические указания

к выполнению расчетно-графического задания

Севастополь

СевГУ

2016

УДК 514.18(076)

ББК 22.151.Зя7

М 74

Рецензенты:

В.В. Смагин – канд.тех. наук, доцент кафедры НГ, и и КГ

В.М. Бабенко – доцент кафедры НГ, и и КГ

О.В. Мухина - доцент кафедры НГ, и и КГ

Составители: А.Ф. Медведь¹, В.Г. Середа²

М 74 Моделирование сечений, пересечений и разверток поверхностей: метод. указания / сост. А.Ф. Медведь¹, В.Г. Середа². – Севастополь: СевГУ, 2016. – 28 с.: ил.

Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

В указаниях даны варианты индивидуальных заданий, изложена методика графических построений и приведены образцы выполненных заданий.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей дневной и заочной формы обучения.

Рекомендовано учебно-методическим советом института в качестве методических указаний.

УДК 514.18(076 )

© Медведь А.Ф.¹ ,

Середа В.Г.², сост., 2016

государственный университет», 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ	3
1. Цель и содержание задания	3
2. Указания к выполнению задания	4
3. Фрагменты теории	8
4. Пошаговое выполнение задач	15
4.1. Решение задачи 1	15
4.2. Решение задачи 2	17
4.3. Решение задачи 3	21
4.4. Перенос точки с развертки на поверхность	23
5. Вопросы для самоконтроля	24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	25
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	26

ВВЕДЕНИЕ

В инженерной практике встречаются задачи, в которых необходимо построить проекции поверхностей, усеченных плоскостями, выполнить построения линий пересечения поверхностей, а также построить развертку (плоскую фигуру, полученную после совмещения поверхности с плоскостью) поверхности.

Сечение – это плоская фигура, ограниченная линией пересечения плоскости с поверхностью.

Сечение многогранника – плоский многоугольник с числом вершин равным числу пересеченных плоскостью ребер.

Сечение кривой поверхности – плоская фигура, ограниченная кривой линией.

Линией пересечения двух кривых поверхностей является пространственная кривая.

Развертка поверхности – это плоская фигура, полученная после совмещения поверхности с плоскостью путем изгиба.

Вариант для выполнения задания определяется как остаток от деления трех последних цифр номера зачетной книжки на 30. Например, если номер зачетной книжки студента 030231, то он выполняет 21-й вариант, так как при делении 231 на 30 в остатке будет 21. Если остаток равен нулю, то принимается 30 вариант.

ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Цель задания – приобретение студентами практических навыков построений на чертеже сечений поверхностей плоскостью, линий пересечения поверхностей и их разверток.

Содержание работы. Задание состоит из трех задач.

Задача 1. Построить три проекции пирамиды, усеченной плоскостями.

Задача 2. Построить две проекции линии пересечения конуса со сферой (нечетные варианты – способом секущих плоскостей, а четные – способом концентрических сфер).

Задача 3. Построить развертку усеченной пирамиды, приведенной в задаче 1.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Задание выполняется на одном листе формата А3 (420х297). Образец выполненного задания приведен на рис. 1.

Решение задачи 1 выполняется вверху на левой половине листа, решение задачи 2 – на правой половине листа, а решение задачи 3 – внизу на левой половине листа. Рекомендуемая компоновка листа приведена на рисунке 2.

Исходные данные к задачам 1 и 2 выбираются по таблицам 1 и 2, а для задачи 3 из задачи 2. Чертежи поверхностей выполняются в масштабе 1:1.

Задание выполняется в следующей последовательности.

1. Выбираем по варианту из таблицы 1 поверхность пирамиды и параметры, характеризующие положение секущих плоскостей, а из таблицы 2 параметры пересекающихся поверхностей – конуса и сферы.

2. Строим в тонких линиях (толщина 0,2…0,3 мм) три проекции пирамиды в верхней части листа слева.

3. Наносим положение секущих плоскостей на фронтальной проекции пирамиды.

4. Достраиваем горизонтальную и профильную проекции секущих плоскостей.

5. Строим развертку усеченной пирамиды в нижней части листа.

6. Строим в тонких линиях две проекции пересекающихся геометрических тел.

7. Строим линию пересечения геометрических тел.

8. Обводим толстой линией (толщина 0,7…0,8 мм) контурные линии.

9. Заполняем основную надпись.

Рис. 1

Таблица 1 – Исходные данные к задаче 1

№ варианта	Параметры, мм						Поверхность пирамиды
№ варианта	d	h	a	b	c	e	Поверхность пирамиды
1	65	80	12	5	55	40
2	60	78	10	10	45	35
3	63	80	8	12	50	30
4	65	82	12	12	56	25
5	60	84	10	8	52	20
6	62	80	9	6	54	15
7	65	80	12	12	58	10
8	60	82	8	7	46	5
9	62	78	10	4	50	0
10	64	82	6	12	48	0
11	65	80	12	5	55	40
12	60	78	10	10	45	35
13	63	80	8	12	50	30
14	65	82	12	12	56	25
15	60	84	10	8	52	20
16	62	80	9	6	54	15
17	65	80	12	12	58	10
18	60	82	8	7	46	5
19	62	78	10	4	50	0
20	64	82	6	12	48	0
21	65	80	12	5	55	40
22	60	78	10	10	45	35
23	63	80	8	12	50	30
24	65	82	12	12	56	25
25	60	84	10	8	52	20
26	62	80	9	6	54	15
27	65	80	12	12	58	10
28	60	82	8	7	46	5
29	62	78	10	4	50	0
30	64	82	6	12	48	0

Таблица 2 – Исходные данные к задаче 2

№ варианта	Параметры, мм					Поверхности конуса и сферы
№ варианта	H	R	r	a	b	Поверхности конуса и сферы
1	100	50	25	35	15
2	95	45	30	40	10
3	100	50	35	35	15
4	95	45	40	40	20
5	100	50	25	35	25
6	95	45	30	40	15
7	100	50	35	35	10
8	95	45	40	40	15
9	100	50	30	35	20
10	95	45	35	40	25
11	100	50	25	35	15
12	95	45	30	40	10
13	100	50	35	35	15
14	95	45	40	40	20
15	100	50	25	35	25
16	95	45	30	40	15
17	100	50	35	35	10
18	95	45	40	40	15
19	100	50	30	35	20
20	95	45	35	40	25
21	100	50	25	35	15
22	95	45	30	40	10
23	100	50	35	35	15
24	95	45	40	40	20
25	100	50	25	35	25
26	95	45	30	40	15
27	100	50	35	35	10
28	95	45	40	40	15
29	100	50	30	35	20
30	95	45	35	40	25

Рис. 2

ФРАГМЕНТЫ ТЕОРИИ

Сечение пирамиды плоскостью – это плоский многоугольник, число вершин которого равно числу пересеченных ребер. Сечение геометрических тел плоскостями строится по алгоритму, содержащему следующие операции:

– определить расположение поверхности и секущих плоскостей относительно друг друга и плоскостей проекций;

– определить количество секущих плоскостей;

– построить проекции опорных и промежуточных точек линии контура сечения на каждом участке;

– определить проекции линии контура сечения, соединяя соответствующие опорные и промежуточные точки.

К опорным точкам относятся: экстремальные точки (высшая и низшая, самая близкая и самая удаленная, крайняя левая и крайняя правая) и точки видимости (точки, разграничивающие линию сечения на видимую и невидимую части). Видимыми будут проекции тех точек линии контура сечения, которые принадлежат видимым на этой проекции граням, ребрам или образующим поверхности.

Следует помнить, что если секущая плоскость частного положения, то одна проекция контура сечения многогранника прямая, а другая – многоугольник.

При пересечении двух криволинейных поверхностей образуется пространственная кривая линия, порядок которой определяется произведением порядков пересекающихся поверхностей.

Для построения линии пересечения двух поверхностей вращения в задании рекомендуется использовать два способа:

– способ секущих плоскостей;

– способ секущих концентрических сфер.

Способ секущих плоскостей применяется, если обе поверхности можно пересечь плоскостями уровня по простейшим линиям (прямым или окружностям).

Способ секущих концентрических сфер применяется при соблюдении следующих условий:

– если пересекаются поверхности вращения;

– если пересекаются оси этих поверхностей;

– если пересекающиеся оси образуют плоскость уровня.

Решение задач на построение линии пересечения двух поверхностей выполняется по общему алгоритму, состоящему из следующих операций:

– построить поверхность-посредник, пересекающий заданные поверхности по прямым или окружностям;

– построить линии пересечения поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей;

– построить точки пересечения полученных линий;

– выполнить три предыдущие графические операции для получения необходимого числа опорных (определяющих конфигурацию и видимость участков линии пересечения) и промежуточных (уточняющих конфигурацию линии пересечения) точек линии пересечения;

– построить проекции линии пересечения поверхностей, проходящей через полученные опорные и промежуточные точки, с учетом ее видимости (видимы те точки линии пересечения, которые принадлежат двум видимым образующим).

Центр сфер-посредников находится в точке пересечения осей вращения поверхностей. Область существования сфер-посредников определяется сферическим кольцом. Максимальный радиус R_max кольца равен расстоянию от центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерков поверхностей. Минимальный радиус R_min кольца равен расстоянию от центра сферы до точки касания очерка поверхности большего размера.

Развертывание поверхностей – это задачи, в которых по заданным проекциям поверхности определяются совмещенные с плоскостью истинные величины ее отсеков.

Решение этих задач основано на знании следующих свойств развертываемых поверхностей:

– длины двух соответствующих линий поверхности и развертки равны между собой;

– углы между соответствующими линиями поверхности и развертки равны между собой;

– замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают равные площади;

– прямой на поверхности соответствует прямая линия на развертке, (но не наоборот);

– параллельным прямым на поверхности соответствуют параллельные прямые на развертке.

Встречающиеся в задании пошаговое деление окружности на пять равных частей приведено в таблице 3. Деление окружности на шесть частей понятно из табл. 4.

Наиболее часто встречающиеся графические операции в задании приведены в табл. 5.

Таблица 3 – Деление окружности на пять равных частей

Таблица 4 – Деление окружности на шесть равных частей

Таблица 5 – Основные графические операции, встречающиеся в индивидуальных заданиях

Если секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций, то сечение шестигранной пирамиды шестиугольник, подобный основанию. Инвариант. Если точка лежит на поверхности, то она лежит на линии принадлежащей этой поверхности. Алгоритм. 1. Строим фронтальную проекцию Г₂ вспомогательной плоскости уровня G, проходящей через заданную проекцию А₃ точки А на поверхности. Плоскость G пересекает пирамиду по шестиугольнику m. Фронтальная проекция шестиугольника m₂ совпадает с фронтальной проекцией Г₂ секущей плоскости G. 2. Строим горизонтальную проекцию m₁ линии пересечения m. 3. Проводим линию связи из точки А₂ до пересечения с горизонтальной проекцией шестиугольника m₁ в точке А₁.

Сечение пирамиды горизонтальной плоскостью Г.

Продолжение табл. 5

Сечение конуса горизонтальной плоскостью Г.

Если секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций, то сечение конуса – окружность. Алгоритм. 1. Строим фронтальную проекцию Г₂ вспомогательной плоскости уровня G, проходящей через заданную точку А. Плоскость G пересекает конус по окружности m радиусом R. Фронтальная проекция m₂ окружности совпадает с фронтальной проекцией Г₂ плоскости G. 2. Строим горизонтальную проекцию m₁ окружности радиусом R. 3. Строим горизонтальную проекцию А₁ точки А, как результат пересечения вертикальной линии связи с m₁.

Сечение конуса фронтально проецирующей плоскостью Т, параллельной образующей конуса.

Если секущая плоскость параллельна одной образующей, то сечение конуса – парабола. Алгоритм. 1. Разбиваем фронтальную проекцию линии сечения на ряд опорных A₂, B₂, C₂ и промежуточных точек, F₂, E₂, D₂. 2. Строим горизонтальные проекции опорных точек А, В и С, как точек, принадлежащих окружностям на поверхности конуса. 3. Строим горизонтальные проекции промежуточных точек F, E и D (например, точка лежит на окружности m с радиусом R).

Продолжение табл. 5

Если секущая плоскость пересекает образующие конуса и не перпендикулярна оси вращения, то сечение конуса – эллипс. Алгоритм. 1. Определяем на фронтальной проекции размер большой оси A₂B₂эллипса. Малая ось эллипса проходит через середину (точка С) большой оси АВ эллипса. 2. Строим горизонтальную проекцию А₁В₁ и C₁D₁ осей эллипса. Точки А₁ и В₁ лежат на горизонтальных проекциях очерковых образующих конуса. Точки C₁ и D₁ лежат на горизонтальной проекции окружности, лежащей в плоскости уровня Г, проходящей через точки С и D. 3. Выбираем на фронтальной проекции промежуточные точки Е₂ и F₂, принадлежащие эллипсу. 4. Строим горизонтальные проекции Е₁ и F₁промежуточных точек Е и F. 5. Соединяем полученные точки лекальной кривой линией.

Сечение конуса фронтально проецирующей плоскостью Т.

Если секущая плоскость параллельна оси конуса, то сечение конуса – гипербола. Алгоритм. 1. Определяем точки A и B основания гиперболы, как результат пересечения плоскости S с основанием конуса. 2. Определяем вершину C гиперболы, лежащую на окружности, принадлежащей конусу и касающейся плоскости S. Точка касания является основанием перпендикуляра, опущенного из оси конуса на плоскость. 3. Достраиваем проекции промежуточных точек, как точек лежащих на окружностях принадлежащих конусу в местах пересечения с секущей плоскостью S.

Сечение конуса фронтальной плоскостью

Продолжение табл. 5

Определение общих точек пересечения повехностей способом секущих плоскостей.

Алгоритм. 1. Строим фронтальную проекцию G₂ вспомогательной секущей плоскости Г. 2. Строим горизонтальные проекции m₁ и n₁окружностей m и n, как результат пересечения горизонтальной секущей плоскости c двумя поверхностями. 3. Определяем точки D₁ и D₁¢ пересечения окружностей m₁ и n₁, которые принадлежат линии пересечения поверхностей. 4. Строим фронтальные проекции D₂ и D₂¢ точек D и D¢. Точка D₂¢ – невидимая и на фронтальной проекции не обозначена.

Определение общих точек пересечения повехностей способом секущих концентрических сфер.

Алгоритм. 1. Определяем фронтальную проекцию О₂ центра О вспомогательных секущих сфер, как результат пересечении осей поверхностей вращения (конуса и сферы). 2. Строим фронтальную проекцию вспомогательной секущей сферы радиусом R_c, которая пересекает коническую поверхность по двум окружностям m и k, а сферу по окружности n. 3. Определяем фронтальные проекции С₂ и D₂, точек С и D, как результат пересечения окружностей m₂ c n₂ и k₂ c n₂соответственно. 4. Строим горизонтальные проекции окружностей m₁ и k₁. 5. Определяем горизонтальные проекции С₁ и D₁ точек С и D, как результат пересечения вертикальных линий связи с соответствующими окружностями m₁ и k₁.

ПОШАГОВОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ

Решение задачи 1

Рассмотрим последовательность построения шестигранной пирамиды, усеченной тремя плоскостями частного положения:

1. Выбираем из таблицы 1 высоту h пирамиды, диаметр d окружности, в которую вписано шестиугольное основание и строим три проекции шестигранной пирамиды (рис. 3а).

Рис. 3

Основание пирамиды строится по рекомендациям, приведенным в таблице 4 для шестиугольника, а в таблице 5 – для пятиугольника.

2. Выбираем из таблицы 1 параметры a, b, c, е и строим фронтальную проекцию секущих плоскостей (рисунок 3б). Боковой вырез в пирамиде образован тремя плоскостями: профильной плоскостью уровня Q, проведенной на расстоянии a=5 мм слева от оси; горизонтальной плоскостью уровня G, проведенной на расстоянии c=45 мм от вершины пирамиды; фронтально проецирующей плоскостью T, проходящей через левую вершину основания (e=0 мм) и пересекающейся с плоскостью G в точке Е. Точка Е лежит в плоскости G и смещена вправо от вертикальной оси на расстояние е=14 мм. Плоскость Q пересекается с ребрами пирамиды в точках A₂, B₂ и (B₂¢), а с плоскостью Г по прямой С₂(С₂¢).

Плоскость G пересекается с ребрами пирамиды в точках D₂, и (D₂¢), а гранями пирамиды по прямым C₂D₂, D₂E₂, (C₂¢)(D₂¢) и с (D₂¢)(E₂¢). Плоскость T пересекается с ребрами пирамиды в точках F₂, (F₂¢), G₂, (G₂¢) и H₂, а с гранями пирамиды по прямым E₂F₂, F₂G₂, G₂H₂, H₂(G₂¢), (G₂¢)(F₂¢), и (F₂¢)(E₂¢). На фронтальной проекции симметричных точек, обозначенных буквами со штрихом, не показаны. Отсеченная часть пирамиды показана тонкой линией.

3. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения пирамиды с секущими плоскостями Q, G и T (рис. 3в).

3.1. Строим горизонтальные проекции точек A₁, B₁, D₁, F₁, G₁ и (A₁'), (B₁', (D₁'), (F₁'), (G₁'). Для этого из фронтальных проекций этих точек проводим вертикальные линии связи до пересечения с соответствующими ребрами и линиями пирамиды.

3.2. Строим проекцию линии пересечения плоскости G с гранями пирамиды. Для этого:

– обозначаем фронтальную проекцию l₂ линии l пересечения плоскости уровня G с шестигранной пирамидой (прямая линия);

– строим горизонтальную проекцию l₁ линии l пересечения плоскости G с пирамидой (в сечении получен шестиугольник подобный основанию);

– строим горизонтальные проекции точек C₁, (C₁'), E₁ и (E₁') и соединяем их отрезками прямых линий.

3.3. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости T с пирамидой. Для этого соединяем полученные точки E₁, F₁, G₁, H₁, (G₁¢), (F₁¢), (E₁¢) отрезками прямых линий.

4. Строим профильную проекцию линии пересечения пирамиды плоскостями (рис. 3г). Проекции всех точек кроме точек E₃ и (E₃¢) лежат на очерковых линиях профильной проекции.

4.1. Строим проекции точек E₃ и (E₃¢) в такой последовательности:

– измеряем на горизонтальной проекции расстояние y_E по оси Y от оси Х симметрии до точки Е₁;

– откладываем это расстояние по оси Y на профильной проекции пирамиды. Расстояние y_E откладывается на горизонтальной линии связи, вправо и влево от оси симметрии.

4.2. Соединяем полученные точки отрезками прямых линий. Невидимые проекции точек обозначаем в круглых скобках.

Решение задачи 2

Рассмотрим пример построения линии пересечения конуса и сферы способом секущих плоскостей.

Задано: конус (высота H=100 мм, радиус основания R=45 мм), и сфера (радиус r =35 мм). Центр сферы смещен вверх на расстояние a =40 мм от основания конуса и вправо на расстояние b=25 мм от оси вращения.

Последовательность построения линии пересечения конуса и сферы такова:

1. Строим две проекции конуса и сферы по исходным данным (рис. 4а).

2. Отмечаем на фронтальной проекции опорные точки A₂ и B₂ – точки пересечения очерковых линий конуса со сферой и находим горизонтальные проекции A₁ и B₁ точек А и В (рис. к 4б). Проекции линии пересечения двух поверхностей находятся между точками A₂ и B₂, т.е. в зоне наложения проекций конуса и сферы.

3. Строим промежуточную точку D линии пересечения (рисунок 4в). Для этого:

– строим фронтальную проекцию G₂ вспомогательной секущей плоскости G. Эта плоскость пересекает коническую поверхность по окружности m₂ радиусом R_К, а сферу – по окружности n₂ радиусом R_С;

– строим горизонтальные m₁ и n₁ проекции окружностей m и n и определяем точки D₁ и D¢₁ пересечения этих окружностей;

– строим фронтальные проекции точек D₂ и D¢₂ точки D. Для этого проводим из точек D₁ и D¢₁ линии связи до пересечения с фронтальной проекцией m₂ и n₂ окружностей m и n в точках D₂ и D¢₂.

На чертеже точки обозначенные буквами со штрихом не обозначены.

4. Повторяем предыдущую операцию необходимое число раз и определяем проекции промежуточных точек C, E, F, G.

5. Соединяем полученные точки линией с учетом её видимости в проекциях (рис. 4г). Обводим штриховой линией невидимую часть очерковой линии сферы и конуса на фронтальной проекции между точками А₂ и В₂ и горизонтальную проекцию очерковой линии сферы и конуса между точками А₁ и В₁.

Точка экстремума на фронтальной проекции линии пересечения определяется с помощью способа сфер (точка D₂ на рис. 5.5в).

Рассмотрим пример построения линии пересечения конуса и сферы способом секущих сфер.

1. Строим две проекции конуса и сферы по заданным ранее параметрам (рис. 5а) и определяем фронтальную проекцию О₂ центра О секущих сфер-посредников.

2. Определяем фронтальные проекции опорных точек A₂ и B₂ – точек пересечения очерковых линий конуса со сферой и строим горизонтальные проекции этих точек – A₁ и B₁ (рис. 5б).

Помним, что линия пересечения поверхностей должна находиться в зоне наложения проекций конуса и сферы.

3. Определяем минимальный и максимальный радиусы сфер-посредников (рис. 5б). Для определения минимального радиуса R_min сфер необходимо из центра сфер провести перпендикуляр О₂К₂ к образующей конуса О₂К₂ = R_min. Максимальный радиус R_max сферы равен расстоянию от центра О₂ до наиболее удаленной точки В₂ пересечения очерков поверхностей, т.е. R_max= О₂В₂.

4. Строим промежуточные точки линии пересечения конуса и сферы (рис. 5в).

4.1. Строим фронтальную проекцию Г₂ вспомогательной сферы Г минимального радиуса.

Рис. 4

Для чего: – из центра O₂ сфер строим фронтальную проекцию Г₂ вспомогательной сферы Г, радиусом R_min = O₂K₂, которая касается конической поверхности по окружности m, а заданную сферу пересекает по окружности n; 4.2. Строим точки D₂ и (D₂') пересечения окружностей m₂ и n₂. 4.3. Определяем горизонтальные проекции D₁ и (D₁') точек пересечения D и (D') окружностей. 4.4. Строим еще несколько вспомогательных сфер-посредников Г¹…Г⁴, которые могут пересекать конус по двум окружностям, а сферу по одной окружности. 4.5. Строим проекции промежуточных точек линии пересечения поверхностей. 4.6. Соединяем полученные точки сплошной толстой линией с учетом её видимости в проекциях (рис. 5г).

Рис. 5 4.3. решение задачи 3 Рассмотрим пример построения развертки усеченной пирамиды (рис. 6) способом триангуляции. Развертка пирамиды состоит из боковой поверхности S123456, состоящей из шести треугольников S12,…S61, основания – правильного шестиугольника 123456 и плоскостей, полученных при сечении пирамиды секущими плоскостями. При построении развертки пирамиды будем придерживаться следующей последовательности: 1. Строим полную развертку боковой поверхности пирамиды по ребру S4 = b и стороне основания шестиугольника 34 = d измеренными на рис. 6.

Рис. 6 2. Переносим на развертку опорные точки ABCDEFG1 выреза, как точки, лежащие на ребрах пирамиды. Расстояние от вершины до соответствующей точки определяется на ребре S1 (рис. 6). Например, истинное расстояние от вершины S до точки D равно S₂D₀ (рис. 6). Откладываем отрезок S₂D₀ на образующей S₀D₀, построенной на развертке (рис. 7). Точки С и Е, лежащие на линии пересечения граней пирамиды с плоскостью Г, строим на развертке следующим образом: – проводим через фронтальные проекции С₂и Е₂ точек С и Е проекции S₂K₂ и S₂M₂ линии посредники SK и SM (рис. 6); – достраиваем горизонтальные проекции S₁K₁ и S₁M₁ линий посредников SK и SM; – строим линии посредники S₀K₀ и S₀M₀. Для этого откладываем на развертке отрезки 2₁К₁ и 3₁М₁ от точек 2₀ и 3₀ соответственно (рис. 7); – проводим из точки D₀ прямые линии параллельные линиям 2₀3₀ и 3₀4₀ до пересечения с линиями S₀K₀ и S₀M₀ в точках Е₀ и С₀. 3. Определяем развертки фигур, полученных в результате сечения пирамиды плоскостями. Натуральная величина фигуры ABCC₁B₁A, полученной от сечения профильной плоскостью Q равна замкнутому контуру A₃B₃C₃C₃'B₃'A₃. Симметричные точки со штрихами на рис. 6 не обозначены. Натуральная величина фигуры CDEE'D'C', полученной от сечения горизонтальной плоскостью Г равна замкнутому контуру C₁D₁E₁E₁'D₁'C₁' (рис. 6).

Рис. 7

Натуральная величина фигуры 1GFEE'F'G' сечения фронтально проецирующей плоскостью Т равна контуру 1₂G₂F₂E₂E₂'F₂'G₂', полученной способом замены плоскостей проекций (рис. 8).

Рис. 8

4. Строим развертку основания пирамиды и развертку фигур, полученных от сечения плоскостями Q, ГиТ (рис. 9).

Рис. 9

Полная развертка пирамиды приведена на рис. 1.

перенос точки с развертки на поверхность

Пусть на развертке усеченной пирамиды задана точка L (рис. 10). Необходимо построить проекции L₁, L₂ и L₃ точки L на комплексном чертеже.

Последовательность решения задачи:

1. Строим на развертке пирамиды образующую-посредник S₀N₀, проходящую через заданную точку L (рис. 10).

Рис. 10

2. Строим горизонтальную проекцию S₁N₁ образующей SN на поверхности. Для этого:

– замеряем на развертке расстояние 1₀N₀ и отложив его на горизонтальной проекции 1₁2₁ получаем точку N₁;

– соединяем точки N₁ и S₁ (рис. 11).

Рис. 11

3. Достраиваем фронтальную S₂N₂ и профильную S₃N₃ проекции прямой SN.

4. Строим фронтальную проекцию L₂ точки L. Так как S₂1₂ – истинная длина ребра S1, то:

– переносим L на ребро S₀1₀ (точка L₀) по линии LL₀ параллельной линии 1₀2₀;

– замеряем на развертке расстояние S₀L₀ и отложив его на фронтальной проекции S₂1₂ ребра S1 получим точку L₀'. Переносим точку L₀' на линию S₂N₂ (точка L₂).

5. Строим горизонтальную L₁ и профильную L₃ проекции точки L (рисунок 11), как точки принадлежащей образующей SN.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется сечением поверхности плоскостью?

2. Что является сечением многогранника плоскостью?

3. Назовите сечения цилиндра, конуса и сферы.

4. Как определяется истинная величина сечения геометрического тела?

5. Сформулируйте алгоритм решения задачи на пересечение прямой линии с поверхностью.

6. Какая линия получается при пересечении двух многогранников?

7. Какая линия получается при пересечении многогранника с кривой поверхностью?

8. Какая линия получается при пересечении двух кривых поверхностей?

9. Сформулируйте основные проекционные свойства пересекающихся поверхностей.

10. Сформулируйте обобщенный алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей.

11. Сформулируйте теорему, лежащую в основе способа сфер.

12. Назовите условия применения способа концентрических сфер.

13. Назовите условия применения способа эксцентрических сфер.

14. Какие точки линии пересечения поверхностей относятся к опорным?

15. Что называется разверткой поверхности?

16. Перечислите виды разверток.

17. Сформулируйте алгоритм построения развертки поверхности способом триангуляции (треугольников).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения расчетно-графического задания студенты научатся:

– строить проекции плоских сечений геометрических тел;

– строить проекции геометрических тел с вырезами, образованными проецирующими плоскостями;

– строить линию пересечения поверхностей, занимающих общее положение, с помощью плоских и сферических посредников;

– строить развертки поверхностей геометрических тел способом триангуляции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Середа В.Г. Начертательная геометрия. Практикум для студентов: учеб. пособие / В.Г. Середа, А.Ф. Медведь. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2008. – 120 с.

2. Сечение поверхностей геометрических тел плоскостями: методические указания к самостоятельной работе по курсу «Начертательная геометрия и инженерная графика» / Сост. М.Н. Логуненко, Н.Я. Якутович, Т.В. Кочергина. – Севастополь: КМУ СПИ, 1990. – 22 с.

3. Взаимное пересечение поверхностей: методические указания к самостоятельной работе по курсу «Начертательная геометрия и инженерная графика» / Сост. В.Н. Ковтун, А.А. Колганов, Л.Н. Иващенко. – Севастополь: КМУ СПИ, 1992. – 16 с.

4. Построение разверток линий и поверхностей: методические указания к расчетно-графической работе по курсу «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» / Сост. В.Г. Середа. – Севастополь: СПИ, 1994. – 12 с.

МОДЕЛИРОВАНИЕ Сечений,

П е р е с е ч е н и й

И разверток поверхностей

Методические указания

Составители: Медведь Анатолий Феодосьевич¹,

Середа Владимир Григорьевич²

Технический редактор – Р.В. Дмитриева

Подписано к печати 25.12.15. Изд. № 38/15. Зак. 384/ 2015. Тираж 200 экз.

Объем 3,5 п.л. Усл. печ. л. 3,25. Уч.-изд. л. 3,43.

Формат бумаги 60 х 84 1/8

РИИЦМ ФГаоУВО «Севастопольский государственный университет»

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 650; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!