Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Задача 2.10. Дано вектори та . Обчислити:

1) ;

2) .

Розв’язання. 1) Знайдемо координати векторів співмножників.

• Якщо та , то їх скалярний добуток знаходиться за формулою

тобто

2) Знайдемо координати . Тоді .

Задача 2.11. Дано вершини чотирикутника . Довести, що його діагоналі перпендикулярні.

Розв’язання. На діагоналях чотирикутника розташовані вектори та .

• Два вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Тому обчислимо

з чого й випливає перпендикулярність діагоналей чотирикутника.

Задача 2.12. Дано вершини трикутника АВС та . Визначити його внутрішній кут при вершині В.

Розв’язання. Зобразимо трикутник:

Кут при вершині В– це кут між векторами та . Маємо , .

• Косинус кута між векторами та обчислюється за формулою

У нашому випадку .

, .

Тоді , значить, кут при вершині В дорівнює .

Задача 2.13. Дано та . Знайти .

Розв’язання. Обчислимо суму векторів .

• Скалярна проекція вектора на вісь вектора обчислюється за формулою

В нашій задачі

Далі знайдемо

Тоді

Задача 2.14. Дано вектори та , де , , кут між векторами та дорівнює . Знайти:

1) ;

2) ;

3) косинус кута між векторами та .

Розв’язання. Особливість цієї задачі полягає в тому, що координати векторів і невідомі, тому не вдасться скористатись зручною формулою для обчислення скалярного добутку через координати. Для обчислення скалярного добутку в цій задачі ми будемо користуватись властивостями скалярного добутку та формулою

• ,

де – це кут між векторами і .

Зазначимо, що властивості скалярного добутку значною мірою схожі на властивості звичайної операції множення чисел, тому можна розкривати дужки, приводити подібні доданки, при необхідності переставляти множники місцями.

1) Обчислимо

При обчисленні ми скористались тим, що

2) Нехай . Тоді ,

Остаточно маємо

3) Нехай , . Тоді

В результаті маємо:

Задача 2.15. Дано та . Знайти векторний добуток .

Розв’язання.

• Якщо координати векторів та , то їх векторний добуток можна знайти за допомогою символічного визначника

Спочатку знайдемо координати вектора

Далі

Задача 2.16. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах та .

Розв’язання.

• Площа паралелограма, побудованого на векторах і , знаходиться за формулою .

• Відразу зауважимо, що площа трикутника, побудованого на векторах і складає половину площі паралелограма, тобто

Обчислимо векторний добуток :

Відповідно .

Задача 2.17. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах та , якщо відомо, що , та кут між векторами і дорівнює .

Розв’язання. Як і в задачі 2.14, особливість цієї задачі полягає в тому, що координати векторів і невідомі. Для обчислення векторного добутку в цій задачі, ми будемо скористаємось властивостями векторного добутку та формулою для знаходження модуля векторного добутку

• ,

де – це кут між векторами і .

Зауважимо, що звичайним студентським заблудженням є впевненість в тому, що дана формула дозволяє знаходити векторний добуток. Але це зовсім не так. Векторний добуток – це вектор, для визначення якого потрібно задавати не лише його модуль, але й напрямок. Таке визначення легко знайти у підручнику. Записана формула дозволяє знайти лише модуль цього вектора.

Далі зазначимо, що властивості векторного добутку, як і скалярного, деякою мірою схожі на властивості звичайної операції множення чисел, тому можна розкривати дужки, приводити подібні доданки. Але при цьому слід брати до уваги, що є дві властивості, якими векторний добуток відрізняється від скалярного, чи ж то від звичайного множення чисел. По-перше,

• ,

по-друге, для будь-якого вектора

• .

Тепер перейдемо до розв’язання нашої задачі.

Використовуючи властивості векторного добутку, виразимо векторний добуток через векторний добуток векторів і :

Далі обчислимо площу паралелограма

Задача 2.18. Дано та . Знайти мішаний добуток .

Розв’язання.

• Якщо координати векторів , то їх мішаний добуток можна знайти за формулою

В нашій задачі одержимо

Задача 2.19. Довести, що чотири точки , лежать в одній площині.

Розв’язання. Знайдемо координати трьох векторів , , . Далі помітимо, що задані чотири точки розташовані в одній площині тоді, коли три знайдені вектори компланарні.

• Відомо, що три вектори компланарні тоді і лише тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Знайдемо мішаний добуток

Для обчислення визначника скористаємось його розкладанням за елементами другого рядка.

Оскільки мішаний добуток дорівнює нулю, то вектори компланарні, отже чотири точки знаходяться у одній площині.

Задача 2.20. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах та , що виходять з однієї точки.

Розв’язання.

• Об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах , що виходять з однієї точки, дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів, тобто

• Відразу зауважимо, що об’єм трикутної піраміди (тетраедра) побудованого на трьох векторах , що виходять з однієї точки складає шосту частину від об’єму паралелепіпеда, тобто

Обчислимо мішаний добуток

Тоді об’єм паралелепіпеда

Задача 2.21. Вершини піраміди знаходяться в точках , , та . Обчислити:

1) площу грані ;

2) площу перерізу, який проходить через середину ребер , , ;

3) об’єм піраміди .

Розв’язання.

1) Грань піраміди представляє собою трикутник. Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах та , тому .

Маємо: , . Значить

Остаточно одержимо: .

2) Використовуючи формулу для знаходження координат середини відрізка, знаходимо середини , , – точки , , відповідно. Площу перерізу знайдемо за формулою