Приложение определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур.
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула 
.
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
(ед2)
Нахождение площади криволинейного сектора.
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.
Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
Вычисление длины дуги кривой.
Т.е. 
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем
,
где х = j(t) и у = y(t).
Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то
|
|
|
Если кривая задана в полярных координатах, то
, r = f(j).
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!