Закон парности касательных напряжений
Рассмотрим равновесие малого выделенного элемента из твердого деформируемого тела, показанного на рис.4.1. Запишем уравнения равновесия для пространственной системы сил в виде:
ΣМz=0: ,
ΣМх=0: ,
ΣМу=0:
откуда получаем:
(4.2)
Таким образом, касательные напряжения τ на паре взаимно перпендикулярных площадок равны по величине и направлены к общему ребру или от него. В этом состоит суть закона взаимности или парности касательных напряжений, выражающийся формулами (4.2).
Напряжения на наклонных площадках при объёмном и при плоском напряженных состояниях
Отсечем от элементарного объёма некоторую его часть произвольной наклонной плоскостью. Положение этой плоскости зададим вектором единичной нормали ν (рис.4.4), с направляющими косинусами:
l=cos(x,ˆν)= , m= cos(y,ˆν)= , n= cos(z,ˆν)=
Рассмотрим равновесие полученной элементарной пирамиды. Запишем уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на координатные оси. Так Σx=0, Σy=0, Σz=0 дают следующую систему уравнений:
С учетом значений направляющих косинусов l, m, n получим значения составляющих полного напряжения р ν на наклоной площадке с нормалью ν:
(4.3)
|
|
Если наклонная площадка принадлежит поверхности тела, то формулы (4.3) по существу связывают поверхностные нагрузки с компонентами тензора напряжений.
Полное напряжение на наклоной площадке, таким образом, можно определить через его составляющие:
(4.4)
Проектируя составляющие полного напряжения рν (4.3) на нормаль ν, получим с учетом значений направляющих косинусов и закона парности касательных напряжений (4.2) формулу для определения нормальных напряжений на произвольной наклонной площадке при объемном напряженном состоянии:
(4.5)
Теперь можно определить и касательные напряжения на наклонной площадке:
Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния, когда , изображенный на рис.4.5. В этом случае формулы (4.3) примут более простой вид:
, (4.6)
Направляющие косинусы:
Нормальные напряжения на наклонной площадке с нормалью ν будут равны:
(*)
C учетом зависимостей (4.6) формулы (*) можно представить в окончательном виде:
(4.7)
(4.8)
На заштрихованной площадке, для которой β=90+α, значения нормальных и касательных напряжений будут определяться по формулам:
|
|
σy' = σzsin2α+σycos2α-τzysin2α (4.9)
(4.10)
Cкладывая формулы (4.7) и (4.9) получаем:
(4.11)
Формула (4.11) выражает мысль о том, что сумма нормальных напряжений на паре взаимно перпендикулярных площадок есть величина постоянная, а формулы (4.8) и (4.10) ещё раз подтверждают закон парности касательных напряжений.
Главные площадки и главные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии
При повороте элементарного объёма относительно точки М компоненты тензора напряжений (4.1), как показывают формулы (4.5 – 4.8) , изменяются, т.е., их значения зависят от ориентации элементарного объёма в пространстве. Можно указать такую его ориентацию, при которой на наклонной площадке с внешней нормалью ν касательные напряжения τy'z' окажутся равными нулю.
Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями.
Пусть на исходных площадках действуют компоненты тензора напряжений (рис. 4.4). Найдем при этом положение главных площадок и значения главных напряжений на них.
|
|
Предположим, что наклонная площадка с нормалью ν является главной с одним нормальным напряжением σν=σ(i), (i=1,2,3).
Рассматривая в равновесии выделенную пирамиду, т.е., проектируя все силы на оси координат х, у, z получим
-σxdFx + σdFl +τyxdFy+ τzxdFZ = 0
-σydFy + σdFm+τ xydFx +τzydFz = 0
-σzdFz + σdFn+τ xzdFx +τyzdFy = 0:
Разделив последние три равенства на площадь наклонной площадки dF, получим три однородных линейных алгебраических уравнения относительно направляющих косинусов l, m, n:
,
, (4.12)
.
Система уравнений не должна иметь нулевое решение в силу того, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, т. е.:
(4.13)
Тогда определитель системы уравнений (4.12)
(4.14)
Раскрывая определитель системы уравнений (4.14), получим кубическое уравнение относительно нормального напряжения на главной площадке:
σ3–J1(Тσ)σ2 + J2(Тσ)σ – J3(Тσ) = 0 (4.15)
|
|
Коэффициенты при напряжении σ в уравнении (4.15):
J1(Тσ)=σx +σy +σz;
J2(Тσ)=σxσy +σyσz + σzσx–τxy2-τyz2-τxy2 (4.16)
J3(Тσ)=σxσyσz +2τxyτyzτzx–σxτyz2-σyτzx2- σzτxy2
называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния, т.е., величинами, не зависящими от преобразования координат относительно вращения элементарного объёма.
Кубическое уравнение (4.15) имеет три действительных корня, значения, которых расположим в такой последовательности: σ1≥ σ2 ≥ σ2. Напряжения σ1, σ2 , σ3 будут главными, значения их не зависят от операции вращения. Поэтому они будут являться инвариантами а, следовательно, формулы (4.16) можно выразить через главные напряжения:
J1(Тσ)=σ1 +σ2+σ3
J2(Тσ)=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 (4.17)
J3(Тσ)=σ1σ2σ3
Рассмотрим частный случай, когда σx=τxy =τzx=0 (рис. 4.5). В таком случае инварианты тензора напряжений (4.16) будут равны:
(**)
Кубическое уравнение (4.15) с учетом (**) преобразуется в квадратное уравнение:
σ2 – J1(Тσ)σ + J2(Тσ)=0 (4.19)
Найдем корни квадратного уравнения (4.19):
(4.20)
После подстановки значений первого и второго инвариантов (4.18) в формулу (4.20) и выполнения элементарных преобразований получим:
(4.21)
Формула (4.20) применяется при определении главных напряжений при плоском напряженном состоянии. В случае если нормальные напряжения σy=0, значения главных напряжений
(4.22)
Теперь определим положение главных площадок.
Рассмотрим равновесие выделенного элемента (рис.4.7), с действующими на него главными напряжениями σ1,2 и напряжениями на исходных площадках.
Спроектируем все силы на ось у получим:
σ1,2dFsinα1,2 +τzydFz–σydFy=0
Разделив на dFsinα1,2 последнее равенство, получим:
, (4.23)
или в частности, когда σy=0:
(4.24)
Формулы (4.24) и (4.25) используются для определения положения главных площадок при плоском напряженном состоянии.
Положительный угол α1,2 откладывается от положительного направления оси z против хода часовой стрелки. При этом должно выполняться условие ортогональности главных площадок: сумма модулей углов α1, α2 должно равняться 90об т. е.:
Это указывает на то, что главные площадки, как и исходные площадки взаимно перпендикулярны между собой.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 630; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!