Требуется вычислить количественные характеристики надежности и построить зависимости характеристик от времени.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Высшего образования

«Севастопольский государственный университет»

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

По выполнению курсовой работы на тему:

«Расчет показателей надежности изделий»

По учебной дисциплине «Контроль и диагностика в технологических процессах»

Для студентов направления подготовки

Стандартизация и метрология»

По профилю «Стандартизация и сертификация»

 

 

Севастополь

2018

Задания на курсовую работу и методические указания к ее выполнению

 

Введение

 

Надежность систем является одним из важнейших условий, определяющих ритмичную и устойчивую работу.

 

Выполнение курсовой работы имеет своей целью помочь студенту усвоить исходные положения теории надежности и получить первые навыки практических расчетов показателей надежности. В работе предложено выполнить расчеты для некоторого устройства.

 

Приступая к выполнению курсовой работы, студент должен прежде всего усвоить основные термины и определения теории надежности: работоспособное и исправное состояния, отказ и повреждение, внезапный

 

и постепенный отказы, восстанавливаемое и невосстанавливаемое, ремонтируемое и неремонтируемое изделия, предельное состояние, наработка и продолжительность эксплуатации, ресурс, срок службы, безотказность, ремонтопригодность, долговечность, сохраняемость, надежность.

 

Далее необходимо восстановить в памяти основные положения теории вероятности: случайное событие, вероятность события, статистическая вероятность (частота), сложение и умножение вероятностей, несовместные и независимые события, случайная величина, распределение случайной величины, среднее значение и математическое ожидание случайной величины, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, функция распределения, плотность распределения, принцип практической уверенности, экспоненциальный и нормальный законы распределения, теоремы о числовых характеристиках случайных величин, случайная функция. Важно усвоить связь между вероятностью и статистической вероятностью (частотой) события, средним значением и математическим ожиданием случайной величины.

 

Для выполнения курсовой работы нужно также получить основные представления о повышении надежности путем резервирования. Прежде всего имеется в виду структурное резервирование. Необходимо усвоить понятия: основной и резервный элемент, нагруженный резерв, кратность резерва, дублирование, общее резервирование и др.

 

После этого студент может перейти к изучению способов расчета единичных и комплексных показателей надежности. В первой части курсовой работы студенту предлагается из множества используемых на практике показателей надежности рассчитать только три: вероятность

 

безотказной работы, среднюю наработку до отказа и интенсивность отказов. Эти показатели обычно рассчитываются для невостанавливаемых объектов, а для восстанавливаемых - только применительно к периоду эксплуатации до первого отказа. Тем не менее, эти показатели достаточно широко используются для оценки безотказности , как на стадии проектирования и испытания объектов, так и при их эксплуатации. Умение рассчитывать указанные показатели дает студенту ключ к расчету других единичных и комплексных показателей надежности и формирует понимание основных закономерностей изменения исправности и работоспособности подвижного состава автомобильного транспорта.

 

Вся курсовая работа разбита на отдельные задания, отражающие рациональную последовательность освоения материала курса и сопровождаемые методическими указаниями. Выполнение каждого задания завершается контрольным вопросом, который имеет целью помочь студенту лучше осмыслить выполняемую работу и подготовиться к зачету по курсу.

 

Общие указания и порядок оформления.

 

Студент с помощью учебников должен изучить основные положения надежности и диагностики, а затем приступить к выполнению курсовой работы в последовательности, установленной заданием и настоящим методическим сборником. Заметим, что строгая последовательность выполнения разделов обязательна.

 

Рекомендуется придерживаться примерно следующей схемы написания пояснительной записки.

 

Первоначально в каждом разделе очень кратко указываются основные принципиальные условия, которые характеризуют собой все дальнейшее направление разработки данного раздела, иначе говоря, ставится цель. Далее излагается содержание отдельных вопросов раздела с достаточно полным объяснением всех принятых положений и решений с соответствующими расчетами и обоснованиями, технологическими и другими схемами и графиками. И, наконец, делаются краткие выводы, в которых отмечается целесообразность принятых решений.

 

Пояснительная записка пишется на одной стороне стандартных листов бумаги с оставлением полей слева 30 мм, сверху и снизу по 20 мм. Все листы, начиная с титульного, последовательно нумеруются. Номер страницы ставится в правом верхнем углу листа (на титульном листе номер не ставится).

 

Задание на курсовую работу должно быть помещено в начале основного раздела. Материал пояснительной записки располагается в такой последовательности:

 

титульный лист;

 

содержание;

 

введение;

 

основной текст пояснительной записки;

 

заключение;

 

список используемой литературы.

В оглавлении пояснительной записки выделяют главы, которые начинают с новой страницы. В свою очередь главы при необходимости могут делиться на пункты. Нумерация в главах состоит из номера главы и пункта, разделенных точкой. Все главы и пункты должны иметь краткие заголовки, соответствующие оглавлению. Введение и список литературы не нумеруются.

 

Изложение пояснительной записки должно быть кратким, логичным, четким, призванным дать обоснование принятым в курсовой работе решениям. Не следует переписывать отдельные листы из учебников и методических указаний.

 

Выполняя расчеты, надо вначале привести формулу, сославшись при необходимости на ее источник, указать значение входящих в формулу символов, а затем подставить численные значения символов и привести окончательный результат расчета без промежуточных вычислений. Численные значения символов следует подставить в формулы после того, как они объяснены. Приводится лишь окончательный результат с указанием размерности, а все промежуточные вычисления опускаются.

 

Формулы, рисунки, таблицы нумеруются арабскими цифрами отдельно в каждом разделе (задаче). Например, табл.2 в разделе 5 будет иметь номер 5.2. Каждая таблица должна иметь название, которое пишется под словом "Таблица".

 

В списке используемой литературы названия ставятся в алфавитном порядке или в последовательности ссылки на нее, при этом в самом начале указывается директивная литература, а затем научно - техническая. По каждому источнику указываются:

 

фамилия и инициалы автора; название книги или статьи; место издания и издательство; год издания; количество страниц.

 

Задания на курсовую работу

 

Задание 1.

 

В табл.2 приведены значения наработок до отказа в находившейся под контролем партии топливных форсунок дизелей автомобилей.

 

Таблица 2

 

Значения наработки устройства до отказа

и заданные значения t ₀ и T ₀.

 

Последняя	Массив значений наработки до отказа			Заданное			Значение
цифра
				значение			Т 0, 103ч
	Т, 103ч
шифра				t, 10	3	ч
1	2			3			4
0	10, 15, 7, 9, 6, 11, 13, 4, 15, 12, 12, 8, 5, 14, 8, 11, 13,			11,5			3,5
	8, 10, 11, 15, 6, 7, 9, 10, 14, 7, 11, 13, 5, 9, 8, 9, 15, 10,
	9, 12, 14, 10, 12, 11, 8, 10, 12, 11, 12, 10, 11, 7, 9
1	11, 9, 12, 16, 7, 8, 10, 11, 15, 8, 12,		14, 6, 10, 9, 10, 16,	12,5			4,5
	11, 10, 13, 15, 11, 13, 12, 9, 11, 13, 12, 13, 11, 12, 8,
	10, 15, 16, 8, 10, 7, 12, 14, 5, 16,	13, 13, 9, 6, 11, 9, 12,
	14
2	12, 17, 9, 11, 8, 13, 15, 6, 17, 14, 14, 10, 7, 16, 10, 13,			13,5			5,5
	15, 10, 12, 13, 17, 8, 9, 11, 12, 16, 9, 13, 15, 7, 11, 10,
	11, 17, 12, 11, 14, 16, 12, 14, 13, 10, 12, 14, 13, 14, 12,
	13, 9, 11
3	13, 12, 15, 17, 13, 15, 14, 11, 13, 15, 14, 15, 13, 14, 10,			14,5			6,5
	12, 17, 18, 10, 12, 9, 14, 16, 7, 18, 15, 15, 11, 8, 13, 11,
	14, 16, 11, 13, 14, 18, 9, 10, 12, 13, 17, 10, 14, 16, 8,
	12, 11, 12, 18

 

 

 

 

 

4	14, 13, 16, 18, 14, 16, 15, 12, 14, 16, 15, 16, 14, 15, 11,	15,5	7,5
	13, 18, 19, 11, 13, 10, 15, 17, 8, 19, 16, 16, 12, 9, 14,
	12, 15, 17, 12, 14, 15, 19, 10, 11, 13, 14, 18, 11, 15, 17,
	9, 13, 12, 13, 19
5	5, 10, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 12, 4, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 11, 4, 6, 5, 7,	6,5	0,5
	8, 3, 4, 6, 8, 7, 11, 6, 1, 5, 2, 7, 6, 9, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10,
	5, 1, 7, 9, 3, 8, 1, 4
6	6, 9, 7, 2, 5, 13, 10, 6, 6, 3, 8, 7, 11, 8, 5, 4, 12, 5, 7, 6,	7,5	1,5
	8, 9, 4, 5, 7, 9, 8, 12, 7, 2, 6, 3, 8, 7, 10, 3, 6, 10, 5, 7, 9,
	11, 6, 2, 8, 10, 4, 9, 2, 5
7	7, 7, 11, 14, 6, 3, 8, 10, 7, 12, 8, 9, 4, 9, 6, 5, 13, 6, 8, 7,	8,5	2,5
	9, 10, 5, 6, 8, 10, 9, 13, 8, 3, 7, 4, 9, 8, 11, 4, 7, 11, 6, 8,
	10, 12, 7, 3, 9, 11, 5, 10, 3, 6
8	8, 4, 10, 12, 6, 11, 4, 7, 9, 11, 13, 10, 14, 9, 4, 8, 5, 10,	9,5	3,5
	9, 12, 5, 8, 12, 7, 13, 9, 10, 5, 8, 8, 12, 15, 7, 4, 9, 11, 8,
	10, 7, 6, 14, 7, 9, 8, 10, 11, 6, 7, 9, 11
9	9, 11, 12, 7, 8, 10, 12, 14, 12, 11, 6, 9, 9, 13, 16, 8, 5,	10,5	4,5
	10, 12, 9, 11, 8, 7, 15, 8, 10, 11, 15, 10, 5, 9, 6, 11, 10,
	13, 6, 9, 13, 8, 10, 12, 14, 9, 5, 11, 13, 7, 10, 5, 8

 

Требуется определить статистические вероятности безотказной работы Р(t) и отказа Q(t) устройства для заданного значения t, указанного

 

в табл.2. Далее необходимо рассчитать значение вероятности безотказной работы P ^* (t) по первым 20 значениям наработки до отказа, указанным для соответствующего варианта в табл.2. Затем для заданной наработки t требуется рассчитать математическое ожидание числа работоспособных устройств N _p (t) при общем числе находившихся в эксплуатации форсунок, указанном в табл.3.

 

Таблица 3

 

Объем партии устройств и заданное значение к

 

Предпоследняя	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
цифра шифра
Объем партии	1000	100	200	300	400	500	600	700	800	900
Значение к	2	6	3	5	4	2	6	3	5	4

 

Методические указания к заданию1.Наработка исследуемыхтопливных форсунок до отказа есть непрерывная случайная величина Т.

 

По результатам испытания (наблюдения и эксплуатации) партии из N устройств получена дискретная совокупность из N значений t ₁ , …, t _i , …,t _N , указанных в табл.2.

 

Статистически вероятность безотказной работы устройства для

наработки t определяется как
P(t) =	N p (t)	,	(1)
	N

где Np(t) - число объектов , работоспособных на момент времени t. Для определения Np(t) из табл.2 следует выбрать значения Т, превышающие t.

 

При выполнении расчетов необходимо быть очень внимательным, поскольку полученные результаты используются в последующем, и ошибка на первом шаге приводит к неверным результатам всех последующих вычислений.

 

Вероятность отказа устройства за наработку t  статистически

 

определяется как	N н р(t)
Q(t) =		,	(2)
	N

где N_нр(t) - число объектов, неработоспособных к наработке t. Для определения N_нр(t) из табл.2 следует выбрать значения Т, меньшие t.

 

Поскольку Np(t) + N _нр(t) = N, нетрудно видеть, чему равна сумма вероятностей: P(t) + Q(t). Подсчет этой суммы используйте для проверки правильности своих вычислений.

 

Оценку вероятности безотказной работы устройства по первым 20-ти значениям наработки до отказа обозначим как P^*(t). Ее значение определяется также по формуле (1), но при этом N = 20,и число работоспособных объектов Np(t) выбирается из этой совокупности.

 

Будем считать, что условия опыта, включающего 50 наблюдений, позволили однозначно определить вероятность безотказной работы форсунки, т.е. P(t) = 1 - F(t). Здесь F(t) - функция распределения случайной величины “наработка до отказа”, определяющая вероятность события T ≤ t при N → ∞.

 

Тогда с учетом формулы (1) математическое ожидание числа объектов N_p(t), работоспособных к наработке t, определяется как

N_p (t) = P(t) N,

где N - объем партии устройств, определяемый по табл.3.

 

Контрольный вопрос.Чем объясняется возможное различиезначений P(t)иP^*(t)?

 

Задание2 .Требуется рассчитать среднюю наработку до отказаТрассматриваемых форсунок. Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям Т, указанным в табл.2, а затем с использованием статистического ряда.

 

Методические указания к заданию2.Для вычислений среднегозначения Т случайной величины Т непосредственно по ее выборочным значениям t ₁ , t ₂ , …, t _i , …, t _N используют формулу

	1	N
T =		∑ t i	(3)
	N
		i =1

Уточним, что здесь N равно числу значений Т в табл.2 для заданного Вам варианта. Ошибки, которые можно сделать при расчетах , разделяют на технические и методические. Техническая ошибка является следствием неправильных действий вычислителя (ошибка при введении числа в калькулятор, повторное введение одного и того же числа, пропуск одного или нескольких чисел и т.п.). Методическая ошибка определяется используемым методом и формулами расчета.

 

Формула (3) не несет в себе методической ошибки, однако расчеты с

 

ее помощью обычно трудоемки и часто приводят к неверным результатам в силу технических ошибок.

 

Чтобы избежать ошибки, расчеты полезно выполнить, как минимум, дважды, вводя в калькулятор значения t _i первоначально с 1-го значения до

N-го,а затем с N-го до1-го.

Значительно упростить и ускорить вычисления можно путем использования преобразования результатов наблюдений (совокупности значений t _i ) в статистический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений Т делят на m интервалов или “разрядов” и подсчитывают число значений n_i, приходящихся на каждый i-ый разряд. Результаты такого подсчета удобно записывать в форме, соответствующей табл.4.

 

 

Таблица 4

 

Преобразование значений наработки до отказа в статистический ряд.

 

Интервал

№

Нижняя и

Число

Статистическая

№

верхняя

попаданий на интервал

вероятность

границы,

103 ч

1

8,5 ÷ 11,5

/////

/////

/////

n1 =15

q1 = 0,15

2

11,5 ÷ 14,5

/////

/////

/////

/////

/////

/////

/////

n2 =35

q2 = 0,35

3

14,5 ÷ 17,5

/////

/////

/////

/////

/////

/////

n3 =30

q3 = 0,30

4

17,5 ÷ 20,5

/////

/////

/////

/////

n4 =20

q4 = 0,20

 

Длины ∆ t всех разрядов чаще всего принимают одинаковыми , а число разрядов m обычно устанавливают порядка 10. Для выполнения данного задания примите ∆ t = 3*10³ч., а m = 4.

 

Для примера в табл .4 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 100 значений случайной величины, распределенной на интервале ]8,5*10³ч; 20,5*10³ч] для тех же условий, т.е. ∆ t = 3*10³ч., m = 4.

 

Заполнять таблицу несложно. Последовательно просматривая массив значений {t _i }, оценивают, к какому разряду относится каждое число. Факт принадлежности числа к определенному разряду отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают n ₁, …, n _i,…, n _m - число попаданий значений случайной величины (число черточек) соответственно в 1-ый, …, i-ый,…, m-ый разряд. Правильность подсчетов определяют, используя следующие соотношения:

m

∑ n _i= N

 

i =1

 

Нижнюю границу интервала Т _о установите , пользуясь табл.2. Статистический ряд можно отразить графически, как показано на

 

рис.1.

 

q												q2
0.35																q3
0.30																					q4
0.25
0.20							q1
0.15
0.10
0.05																									t,103 ч
8							10		12			14				16		18			20
					T 0		t 1		T 1					T 2		t 3		T 3					T 4
												t 2									t 4

 

Рис.1. Статистический ряд

 

С этой целью по оси абсцисс отложите разряды и на каждом разряде постройте прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины на данный интервал. Здесь T ₁, …, T _i, …, T _mсоответственно верхние границы 1-го, …, i-го, …, m-гоинтервалов, определяемые принятыми значениями Т ₀ и ∆t.

Статистическая вероятность q _i попадания случайной величины на i-ый интервал рассчитывается как

q _i=ⁿ_Nⁱ

 

Подсчитайте значения q _i для всех разрядов и проверьте правильность расчетов, используя выражение

				m
				∑q i	= 1
				i =1
Для расчета	среднего			значения	случайной	величины	в качестве
“представителя”	всех ее значений,				принадлежащих i-му		интервалу,
принимают его	середину			∼		наработка	до отказа
				ti.Тогда средняя
определяется как			m ~
						(4)
		T =∑		tiq i .
			i =1

 

 

 

Расчет с использованием формулы (4) вносит некоторую методическую ошибку. Однако ее значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку в Ваших расчетах оцените по формуле

_d= T(II) − T(I) _*100%,

T (I)

 

где T (I) и T(II) - средние значения, вычисленные соответственно с использованием формул (3) и (4).

Контрольный вопрос.Каким образом можно уменьшить ошибки врасчетах с использованием второго метода?

 

Задание3.Требуется рассчитать интенсивность отказовλ (t)длязаданных значений t и ∆t.

 

Затем в предположении, что безотказность некоторого блока в электронной системе управления автомобиля характеризуется интенсивностью отказов, численно равной рассчитанной, причем эта интенсивность не меняется в течение всего срока его службы, необходимо определить среднюю наработку до отказа Т _Б такого блока.

 

Подсистема управления включает в себя k последовательно соединенных электронных блоков (рис.2).

 

Подсистема

 

1-ый		i-ый
				К-ый
блок		блок		блок

 

Рис.2 Подсистема управления с последовательно включенными блоками

 

Эти блоки имеют одинаковую интенсивность отказов, численно равную рассчитанной. Требуется определить интенсивность отказов подсистемы λ _П и среднюю наработку ее до отказа Т _П , построить зависимости вероятности безотказной работы одного блока Р _Б (t) и подсистемы Р _П (t) от наработки и определить вероятности безотказной работы блока Р _Б (t) и подсистемы Р _П (t) к наработке t=Т _П . Значение k указано в табл.3.

 

Методические указания к заданию3.Интенсивность отказовλ (t) рассчитывается по формуле

 

λ ( t) =	q ( t,∆t)	,	(5)
	P ( t)∆t

где q( t ,∆t ) - статистическая вероятность отказа устройства на

 

интервале ]t,t+ ∆ t] или иначе - статистическая вероятность попадания на указанный интервал случайной величины Т;

 

Р(t)- рассчитанная на шаге1-вероятность безотказной работы устройства.Напомним, что значение t определяется из табл.2, а принятое в работе значение ∆ t=3*10³ ч.

 

Если интенсивность отказов не меняется в течение всего срока службы объекта, т.е. λ (t) = λ = const, то наработка до отказа распределена по экспоненциальному (показательному) закону.

В этом случае вероятность безотказной работы блока

РБ (t) = e-λt = exp(-λt),

(6)

а средняя наработка блока до отказа находится как

T_Б=_λ¹.

При последовательном соединении образуемой ими подсистемы:

k

λ_П=∑ λ_i .

 

i =1

 

 

(7)

 

k блоков интенсивность отказов

 

(8)

 

Если интенсивности отказов всех блоков одинаковы,    то

интенсивность отказов подсистемы
λП = kλ,							(9)
а вероятность безотказной работы подсистемы
Рп(t) = exp(-λПt)= exp(- kλt).							(10)
С учетом (7) и (8) средняя наработка подсистемы до отказа находится
как			1		1
		=		=		.	(11)
	T
	П		λ П		κλ

Для построения зависимостей Р _Б (t) и Р _П (t) можно пользоваться калькулятором или данными табл.5. Для расчета значений Р _Б (t) и Р _П (t) интервал наработки t примите равным 400ч.

 

График постройте на миллиметровой бумаге, установив максимальное значение t=5200 ч, но при этом при вычислении Р _П (t) расчеты можно прекратить, достигнув значения 0,05.

 

Пояснения к табл.5

 

 

В таблице приведены значения функции ехр(-х) от 0,00 до 3,09 через 0,01. С целью сокращения объема таблицы приведены только цифры дробной части после нуля целых или нуля целых и нуля десятых. Например,

 

ехр(-0,05)=0,9512;

 

ехр(-2,53)=0,07966.

 

Соотношения (8) и (9) справедливы для экспоненциального распределения. Для любого распределения наработки до отказа вероятность безотказной работы подсистемы, состоящей из k последовательно соединенных блоков, связана с вероятностями безотказной работы этих блоков следующим соотношением:

k
РП ( t ) =∏ Pi (t) .	(12)
i =1

Если блоки равнонадежны, как принято в задании, то

РП( t)= РБκ(t).

(13)

Рассчитав значение Р _П (t) по формуле (13) для t=Т_п , сравните его со значением, рассчитанным по формуле (10).

 

Контрольный вопрос.В какой период эксплуатации-начальныйили по мере приближения к предельному состоянию - интенсивность отказов объектов обычно резко и неуклонно возрастает, и почему?

 

Задание4.Для наработкиt=Т_Птребуется рассчитать вероятностьбезотказной работы Р_с(Т_П) системы (рис.3), состоящей из двух подсистем, одна из которых является резервной.

 

 

Таблица 5

 

Значения функции ехр(-х)

 

x		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0	0.	-	9900	9802	9704	9608	9512	9418	9324	9231	9139
0.1	0.	9048	8958	8869	8781	8694	8607	8521	8437	8353	8270
0.2	0.	8187	8106	8025	7945	7866	7788	7711	7634	7558	7483
0.3	0.	7408	7334	7261	7189	7118	7047	6977	6907	6839	6771
0. 4	0.	6703	6637	6570	6505	6440	6376	6313	6250	6188	6126
0. 5	0.	6065	6005	5945	5886	5827	5769	5712	5655	5599	5543
0.6	0.	5488	5434	5379	5326	5273	5220	5169	5117	5066	5016
0.7	0.	4966	4916	4868	4819	4771	4724	4677	4630	4584	4538
0.8	0.	4493	4449	4404	4360	4317	4274	4232	4190	4148	4107
0. 9	0.	4066	4025	3985	3946	3906	3867	3829	3791	3753	3716
1. 0	0.	3679	3642	3606	3570	3535	3499	3465	3430	3396	3362
1.1	0.	3329	3296	3263	3230	3198	3166	3135	3104	3073	3042
1.2	0.	3012	2982	2952	2923	2894	2865	2837	2808	2780	2753
1.3	0.	2725	2698	2671	2645	2618	2592	2567	2541	2516	2491
1. 4	0.	2466	2441	2417	2393	2369	2346	2322	2299	2276	2254
1. 5	0.	2231	2209	2187	2165	2144	2122	2101	2080	2060	2039
1.6	0.	2019	1999	1979	1959	1940	1920	1901	1882	1864	1845
1.7	0.	1827	1809	1791	1773	1755	1738	1720	1703	1686	1670
1.8	0.	1653	1637	1620	1604	1588	1572	1557	1541	1526	1511
1. 9	0.	1496	1481	1466	1451	1437	1423	1409	1395	1381	1367
2. 0	0.	1353	1340	1327	1313	1300	1287	1275	1262	1249	1237
2.1	0.	1225	1212	1200	1188	1177	1165	1153	1142	1130	1119
2.2	0.	1108	1097	1086	1075	1065	1054	1044	1033	1023	1013
2.3	0.	1003	0993	0983	0973	0963	0954	0944	0935	0926	0916
2. 4	0. 0	9072	8982	8892	8804	8716	8629	8543	8458	8374	8291
2. 5	0. 0	8208	8127	8046	7966	7887	7808	7730	7654	7577	7502
2.6	0.0	7427	7353	7280	7208	7136	7065	6995	6925	6856	6788
2.7	0.0	6721	6654	6587	6522	6457	6393	6329	6266	6204	6142
2.8	0.0	6081	6020	5961	5901	5843	5784	5727	5670	5613	5558
2.9	0.0	5502	5448	5393	5340	5287	5234	5182	5130	5079	5029
3.0	0.0	4979	4929	4880	4832	4783	4736	4689	4642	4596	4550

 

 

 

Система
Подсистема 1	Подсистема 2

 

 

Рис.3 Схема системы с резервированием

 

Методические указания к заданию4.Расчет ведется впредположении, что отказы каждой из двух подсистем независимы, т.е. отказ первой системы не нарушает работоспособность второй, и наоборот.

 

Вероятности безотказной работы каждой системы одинаковы и равны Р_П (Т_П).Тогда вероятность отказа одной подсистемы

Q_П(Т_П) = 1-P_П(Т_П)

Вероятность отказа всей системы Q_C(T_П) определяется из условия, что отказала и первая, и вторая подсистемы, т.е.

Q (T )       Q (Т) * Q (Т) = Q²(Т) .

_{C   П} =   _{П     П            П     П             П     П}

 

 

Р_с(Т_П)=1-Q_C(T_П)

 

или иначе

 

Р_с( Т_П )=1-(1- Р_П(Т_П) )²

 

Контрольный вопрос . Какие недостатки Вы видите в принятойсхеме резервирования?

 

Задание5.По данным табл.6требуется определить зависимости отнаработки (пробега автомобиля) математического ожидания (среднего значения) износа шатунных шеек коленчатого вала ДВС y(t) и дисперсии износа Д(y(t)) , полученные уравнения необходимо записать. Параметры искомых зависимостей следует рассчитать с использованием правила определения уравнения прямой, проходящей через две точки с известными координатами.

 

Методические указания к заданию5.Данное задание выполняется впредположении, что математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия износа шатунных шеек коленчатого вала представляют собой линейные функции пробега автомобиля. Это подтверждается исследованиями, проведенными в различных автохозяйствах и обработкой статистических данных.

 

Обозначим износ шеек как некоторую переменную величину Y. Зависимость Y от наработки (пробега автомобиля) представляет собой случайную функцию, реализации которой являются монотонными неубывающими функциями. Для описания такой случайной функции часто вполне достаточно знать, как меняются в зависимости от наработки

 

ее математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия: y(t) и

 

Д(y(t)).

 

Исследования, проведенные в различных автохозяйствах, показывают, что для описания зависимости износа от пробега автомобиля могут быть использованы линейные функции

 

y(t) = y 0 + аt, (в мм)	(14)
Д(y(t)) = Д(y 0 ) + вt, (в мм2)	(15)

 

где y ₀ и Д(y ₀ ) соответственно - среднее значение и дисперсия износа шеек при t=0, при этом началом отсчета является последняя обточка коленвалов;

 

а - средняя скорость увеличения износа, мм/тыс.км;

 

в - скорость увеличения дисперсии износа, мм²/тыс.км; t -пробег автомобиля,тыс.км.

 

 

 

 

Искомыми параметрами функций (14) и (15) являются y ₀ ,а,Д(y ₀ ) и в. На практике для их нахождения необходимо область возможныхзначений наработки (нижняя граница которой t=0, а верхняя находится из условия достижения предельного значения износа) разбить на несколько (обычно 10-20) интервалов. При каждом из разделяемых этими интервалами пробегов автомобиля t ₁ , t ₂ , ..., t _i , ... производят измерения износа большого количества коленчатых валов и вычисляют соответствующие пробегам средние значения y ₁ , y ₂ , ..., y _i , ..., а затем дисперсии Д(y ₁ ),Д(y ₂ ), ...,Д(y _i ), .... Располагая такими наборами значений t _iи y _iили t _iи Д(y _i ), можно,используя метод наименьших квадратов,определить искомые зависимости y(t) и Д(y(t)).

 

В курсовой работе задача существенно упрощена. Предполагается, что массивы данных об износе шеек для каждого t _i уже обработаны. Считается также возможным определить искомые линейные зависимости, располагая координатами только двух точек.

В таком случае параметры а и в зависимостей (14) и (15) могут быть определены соответственно

a =		y	2 −			y1		(16)
		t		2	- t
и					1
в =	Д ( у2)− Д ( у1)							(17)
					t 2− t1

После этого, используя координаты любой из известных двух точек, например, второй (t ₂, y ₂) или (t ₂,Д(у ₂ )), можно найти два других параметра

у

=

у

−

y

2 −

y1

t

2

;

(18)

0

2

t 2 - t1

Д ( у0)= Д ( у2)−

Д ( у2)− Д ( у1)

t2

(19)

t 2− t1

Подставив значения (16),(17),(18) и (19) в уравнения (14) и (15), получите выражения, определяющие зависимости от пробега среднего износа шатунных шеек ДВС и дисперсии износа

у

(t) =

у

−

y

2 −

y

1

t

2

+

y

2 −

y

1

t

2

t 2

- t1

t 2

- t1

и

 

 

_{Д (у(t))=Д(у2)−}^Д(у2 ^)−Д(у1⁾_t2+^Д(у2 ^)−Д(у1⁾_t

 

t ₂− t₁t ₂− t₁

 

Произведите необходимые вычисления и запишите полученные выражения (14) и (15) с числовыми значениями параметров.

 

Контрольный вопрос.Могут ли исходные значения среднего износашеек у ₀ и дисперсии износа Д(у ₀ ), соответствующие t=0, быть равными 0? Отрицательными числами?

 

Задание6.Требуется рассчитать средние значения{ y(t _i )},дисперсии{Д(y(t _i ))} и средние квадратические отклонения { σ (y(t _i ))} износа принескольких значениях пробега, пользуясь зависимостями, полученными на предыдущем шаге. Затем требуется для тех же значений пробега определить нижнюю y(t _i ) _min и верхнюю y(t _i ) _max границы практически возможных значений износа. Результаты расчетов следует занести в таблицу, выполненную по форме табл.7, и построить по ним линии, представляющие собой зависимость среднего износа шеек от пробега, нижнюю и верхнюю границы практически возможных значений износа.

 

Таблица 7

 

Результаты расчета средних значений, дисперсий и средних квадратических отклонений износа шеек коленчатых валов.

 

			Пробег, тыс.км
	Величина
		0	50	100	...	300	350
1	Средний износ y(t), мм
2	Дисперсия износа Д(у(t)), мм2
3	Среднее квадратическое
	отклонение износа σ (y(t)), мм
4	Утроенное значение 3 σ (y(t)), мм
5	Нижняя граница y(t) min
6	Верхняя граница y(t) max

 

Предельное значение у _пр износа шеек коленчатых валов ДВС типа ЧН21/21 установлено равным 1,7мм. На практике обточку стремятся производить при прокате 1,5 мм, поэтому при выполнении курсовой работы примите у _пр равным 1,5мм. Заданный пробег указан в табл.8.

 

		Заданная серия и пробег Т зад							Таблица 8
Последняя	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
цифра шифра
Заданный	150	240	170	230	190	280	180	260	160	250
пробег Т зад ,
тыс. км

 

Методические указания к заданию6.Заполните таблицу,последовательно производя вычисления по формулам, полученным при выполнении задания 5, для различных значений пробега автомобиля. Расчет среднеквадратических отклонений произведите по формуле

σ( y _i ) =  Д( y _i ) ,

где i- номер интервала в табл.7.

 

Принятой модели процесса износа шейки, определяемой выражениями (14) и (15), соответствует такое постепенное увеличение износа, при котором среднее значение и дисперсия приращения износа за

некоторый интервал пробега ∆ t пропорциональны длине этого интервала

 

и не зависят от достигнутого значения у. В таком случае вполне допустимо, основываясь на основных теоремах теории вероятностей,

 

считать, что для любого t _i (пока у < у _пр )значения износа распределены по нормальному закону с плотностью распределения

	1		( y - y i )			2
f ( y i ) =
	σ ( y i ) 2π	exp -		2
			2s		(y i )

Сужение области определения функции f(y _i ) до интервала ]0,у _пр ] практически не оказывает влияния на результаты расчетов.

 

Для нахождения области практически возможных значений случайной величины Y _i, распределенной по нормальному закону, пользуются “правилом трех сигма”. В соответствии с этим правилом для каждого пробега автомобиля t _i верхняя и нижняя границы практически возможных значений износа шеек находятся как

y(t _i ) _max,min =                                   y _i ± 3 σ (y _i )   (20)

 

Кривые, показывающие верхнюю и нижнюю границы практически возможных значений износа, определяются выражениями

y(t) _max = y ₀ + at + 3 Д ( у ₀ ) + в t                     (21)

 

y(t) min = y 0 + at - 3 Д ( у 0 ) + в t

(22)

Полученные зависимости иллюстрирует рис.4.

 

Изображая на таких графиках кривую распределения, подразумевают, что оси f(y _i ) и f(y) направлены перпендикулярно плоскости t _o y.

 

По результатам расчетов , сведенным в табл.7, постройте график зависимости среднего износа шеек от пробега (рис.4). Проведите на

 

графике прямую y=y _пр. Пользуясь данными табл.6, постройте на этом же графике кривые, показывающие верхнюю и нижнюю границы практически возможных значений износа шеек. Покажите на графике обе исходные точки (t ₁ , y ₁ ),(t ₂ ,y ₂ ) и отметьте их координаты.

 

При построении графика рекомендуется использовать следующий масштаб: пробег - в 1мм 1 тыс. км, износ - в 1мм 0,01мм износа.

 

У, мм

 

Упр

 

y(t)max	y(t)
	f(y)

 

f(yi)	y(t)min

 

 

УО

 

 

t,

 

 

тыс.км

 

 

ti

 

 

Тн

 

 

Тзад

 

 

Тто-4

 

 

Tk

 

Рис.4 Зависимость среднего износа шеек коленчатых валов от пробега

 

Контрольный вопрос.Имеет ли смысл при заданных условияхвычислять значения среднего износа и дисперсии износа для наработки t

= 360 тыс.км и более?

 

Задание7.Требуется рассчитать      Т -средний пробег(наработку)до

 

текущего ремонта, а также наименьший Т _н и наибольший Т _к- практически возможные пробеги до обточки шеек коленчатых валов по износу.

 

Далее необходимо рассчитать Ψ - вероятность того, что к заданному пробегу Тзад будет произведена обточка шеек коленчатого вала по износу.

 

При расчете вероятности воспользуйтесь графиком, приведенным на рис.5, или таблицами значений нормальной функции распределения

 

Φ* ( х) =	1	х		− t	2
		∫	е xp			dt ,
	2π−∞			2

приводимыми в приложениях к монографиям по теории вероятностей, и в частности в [8].

 

Методические указания к заданию7.Текущий ремонт представляетсобой обточку шатунных шеек коленчатых валов с разборкой ДВС. Факторами, определяющими необходимость производства обточки шатунных шеек, могут быть увеличение износа до предельного значения, проявление дефектов на поверхности скольжения, необходимость уравнять диаметры шеек коленчатых валов для постановки вкладышей ремонтных градаций и др. В данной работе будем считать, что основной причиной постановки автомобиля на ремонт является увеличение износа шеек, что вполне соответствует практике работы большинства автохозяйств.

 

При таком условии средний пробег до текущего ремонта можно рассчитать, подставив в выражение (14) значение y(t) = y _пр :

_Tтp=^yп p ^-у0

a

 

Чтобы найти практически наименьший Т _н и наиболее поздний Т _к сроки производства текущего ремонта, необходимо подставить y(t) _max = y _при y(t) _min = y _прсоответственно в выражения(21)и(22).

 

 

Произведя необходимые преобразования, находим

 

Тн=	9в + 2 ( yпp- у 0 )а − [9в + 2 (yпp- у 0 )а2-	→
	2а2

 

 

→	− 4a2	( yпp - у0 )2−9Д(у0)]	, тыс.км;
		2а2
9в + 2 ( yпp		- у0)а+[9в+2 (yпp	- у0)а2 -	→
Тк=		2а2

 

_→  ^{− 4a2 (y}пp^-у0^)2−9Д(у0^)]_{,тыс.км;}2а²

 

На рис.4 плотность распределения износа при наработке, соответствующей заданному пробегу Т _зад, обозначена как f(y). Часть,

 

лежащая выше У _пр, является мнимой, поскольку превышение предельного значения износа недопустимо. Заштрихованная площадь соответствует вероятности того, что к пробегу Т _зад уже будет произведена обточка шеек. Эта вероятность находится как

 

Ψ = 1- F(y _пр ),

 

где

	1	y п р		(у − у)	2
F(y п р ) =			exp −			dy
	σ (у) 2π	∫					(23)
		0		2σ2 (у)

В формуле (23) у- среднее значение износа, находимое путем подстановки t = T _зад в выражение (14). Среднее квадратическое

 

отклонение σ (у) рассчитайте путем подстановки t = T _зад в выражение (15):

 

 

σ( y _i ) =  Д(y ₀ ) + вТ _{з ад}

 

Интеграл (23) не выражается через элементарные функции, поэтому для его вычисления пользуются таблицами нормальной функции

 

распределения Φ^∗ (х). Эта функция характеризует распределение случайной величины Χ, у которой математическое ожидание равно 0 и

σ (х) = 1.

Выразить функцию распределения (23) через нормальную функцию распределения можно с помощью выражения

 

F(y _пр )= Φ^∗ (х),

 

где х находится в результате замены переменной как

_{х =} ^у п p ^{− y}_.

σ( у)

 

По рассчитанному значению х найдите по таблицам или с помощью

 

графика, приводимого на рис.5, значение Φ^∗ (х) и далее Ψ. Убедитесь, что в силу симметрии нормального распределения с математическим ожиданием, равным 0, относительно начала координат

 

Φ^∗ (-х) = 1 -Φ^∗ (х).

 

Контрольный вопрос.Чему равна вероятность производстваобточки шеек коленчатых валов к моменту t=T _тр?

 

Задание 8.

 

На испытании находилось N ₀=1000 образцов электрических ламп автомобиля, которые относятся к классу неремонтируемой аппаратуры.

Число отказов n( ∆ t) фиксировалось через каждые 100ч работы (∆ t=100ч).

Данные об отказах по вариантам шифра приведены в табл.9.

 

Требуется вычислить количественные характеристики надежности и построить зависимости характеристик от времени.

 

Решение:Автомобильные электрические лампы относятся к классуневосстанавливаемых изделий. Поэтому критериями надежности будут

Р(t); a(t), λ (t), T _ср.

 

Вычислим Р(t).

 

_Р(100)=^N 0^−n(100)N₀

 

_Р(200)= 1000 − n(100 + 200) N₀

--------------------------------------------

 

				3000
		1000 − n ( ∆t) =		∑ по варианту
				0
P( 3000) =
		1000

 

Для расчета характеристик a(t) и λ (t) применяются формулы:

a(50) =^{n( ∆ t)}

N ₀∆t

a(150) =

-----------------------------------------

a(2950) =

λ(50) =^{n( ∆ t)}=

 

N ₀∆t

λ(150) =

---------------------------------------

λ( 2950) =

 

											Таблица 9
				Данные об отказах.
∆ t i			n( ∆ t i ) по последней цифре шифра
r	0	1		2	3	4	5	6	7	8		9
0...100	50	51		52	53	54	55	50	49	48		47
100...200	40	41		42	43	44	45	40	39	38		37
200...300	32	33		34	35	36	37	32	31	30		29
300...400	25	26		27	28	29	30	24	23	22		21
400...500	20	21		22	23	24	25	19	18	17		16
500...600	17	18		19	20	21	22	16	15	16		14
600...700	16	17		18	19	20	21	15	14	13		12
700...800	16	17		18	19	20	21	15	14	13		12
800...900	15	16		17	18	19	20	14	13	12		11
900...1000	14	15		16	17	18	19	13	12	11		10
1000...1100	15	16		17	18	19	20	14	13	12		11
1100...1200	14	15		16	17	18	19	13	12	11		10
1200...1300	14	15		16	17	18	19	13	12	11		10
1300...1400	13	14		15	16	17	18	12	11	10		9
1400...1500	14	15		16	17	18	19	13	12	11		10
1500...1600	13	14		15	16	17	18	12	11	10		9
1600...1700	13	14		15	16	17	18	12	11	10		9
1700...1800	13	14		15	16	17	18	12	11	10		9
1800...1900	14	15		16	17	18	19	13	12	11		10
1900...2000	12	13		14	15	16	17	11	10	9		8
2000...2100	12	13		14	15	16	17	11	10	9		8
2100...2200	13	14		15	16	17	18	12	11	10		9
2200...2300	12	13		14	15	16	17	11	10	9		8
2300...2400	13	14		15	16	17	18	12	11	10		9
2400...2500	14	15		16	17	18	19	13	12	11		10
2500...2600	16	17		18	19	20	21	15	14	13		12
2600...2700	20	21		22	23	24	25	19	18	17		16
2700...2800	25	26		27	28	29	30	24	23	22		21
2800...2900	30	31		32	33	34	35	29	28	27		26
2900...3000	40	41		42	43	44	45	39	38	37		36

 

 

Значения Р(t); a(t) и  λ (t), вычисленные для всех ∆ t _i, сводим в таблицу следующей формы, табл.10.

Таблица 10

 

Вычисленные значения Р(t), a(t) и  λ (t)

 

∆ t i ,ч	Р(t)	a(t)*10 -3 , 1/ч	λ (t)*10 -3 , 1/ч
от 100
100...200
-
2800...2900
2900...3000

 

 

По данным, приведенным в табл.10, строятся на миллиметровой бумаге зависимости Р,а и λ от t.

 

Следует иметь в виду, что в табл.9 данные P(t) приведены для концов интервалов ∆ t _i, а данные для a(t)и λ (t) - для середины интервалов ∆ t _i .

 

Поэтому определение P(t) по формуле

 

λ (t)=a(t)/ P(t)

 

и данным таблицы 10 не дает значений P(t), указанных в таблице. Вычислим среднее время безотказной работы, предположив, что на

 

испытании находились только те образцы, которые отказали.

	m
	∑ n i tcpi
T ≈	i =1	,
cp	N

 

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 416; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!