Дискретные случайные величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x_i, а вторая – соответствующие вероятности р _i:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

где .

Закон распределения дискретной случайнойвеличины X может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i) = φ(x_i)

или с помощью функции распределения.

 

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им  вероятности:

М(X) = x₁p₁+ x₁p₂+…+ x_np_n.

 

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(Х) = М(X²) – [М(Х)]².

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

.

Функция распределения

Функцией распределения называют функциюF(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.

F(x) = P(X < x).

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1.0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство 2.Функция распределения – неубывающая функция:

F(х₂) ≥ F(х₁),еслиx₂ > x₁.

Следствие 1. Вероятностьтого, что случайная величинаXпримет значение, заключенное в интервале(a , b)равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а < X < b) = F(b) – F(а).

Следствие 2.Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например х₁равна нулю:

P(X = x₁)= 0.

Дифференциальная функция распределения

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

f(х) = F¢(х).

Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» или «дифференциальная функция».

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b),определяется равенством:

.

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения:

.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1.Плотность распределения неотрицательна, т.е.f(x)≥0.

Свойство 2. . В частности, если все возможные значения случайной величиныпринадлежат интервалу (а, b), то .

---

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 320; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!