ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРОСТЕЙШЕЙ ЦЕПИ

ПОСТОЯННОГО ТОКА

Преобразование электрической энергии в тепловую. Электрическая мощность. При прохождении электрического I по участку цепи с сопротивлением r происходит преобразование электрической энергии в. тепловую.

Количество электрической энергии W, преобразуемой в тепловую энергию за время t, определяется по закону Джоуля — Ленца:

W = I ² rt (1.7)

Мощность Р представляет собой количество энергии, преобразуемой в единицу времени:

(1.7а)

или

(1.76)

Заменив в выражении (1.7а) произведение Ir напряжением U, получим формулу для мощности Р, характеризующей интенсивность процесса преобразования электрической энергии в тепло или другие виды энергии:

P = UI (1.8)

Основными единицами измерений являются: для мощности — ватт (вт), а для электрической энергии—ватт-секунда (вт-сек) или джоуль (дж). На практике чаще применяют укрупненные единицы измерении:

1 киловатт (кВт) = 1000 Вт,

1 киловатт-час (кВт ×ч) = 3,6×10⁶.Ватт-сек (Дж).

Рассмотрим баланс мощностей в простейшей цепи (см. рис. 1.3). Для этого умножим все члены уравнения (1 .3а) на I.

EI = I ² r _г + I ² r _л + I ² r _н (1.9)

Произведение EI представляет собой полную электрическую мощность Рэ, развиваемую источником. Часть этой мощности DР r = I² r теряется в самом источнике в виде тепла. Разность Рэ - DРг представляет собой мощность, отдаваемую источником во внешнюю цепь. В проводах линии также теряется в виде тепла часть мощности DРл = I² r_л Остальная мощность P_нагр = I² r_н = U_нагр I потребляется нагрузкой. Баланс мощностей рассмотренной цепи можно наглядно иллюстрировать энергетической диаграммой (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Энергетическая

диаграмма простейшей цепи

постоянного тока

Потери мощности в источниках питания современных электроэнергетических установок относительно невелики. Мощные электрические генераторы имеют высокий к.п.д., достигающий значения 0,95 и выше.

При передаче потребителям одной и той же мощности Р_нагр = U_нагр I ток, протекающий по линии, будет тем меньше, чем выше напряжение установки. Потеря мощности в линии, как известно, пропорциональна квадрату тока. В связи с этим повышение напряжения, например в 10 раз, приводит к снижению потери мощности в линии передачи в 100 раз, и следовательно, к повышению ее экономичности. Этим объясняется использование все более высоких напряжений в электроэнергетических установках.

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Законы Кирхгофа. При анализе и расчете электрических цепей, образуемых путем последовательного и параллельного соединения источников и потребителей электроэнергии, составляют электрическую схему, на которой показывают, как осуществляются эти соединения (рис 1.6).

Рис. 1.6 Схема сложной цепи постоянного тока

Несколько последовательно соединенных элементов, по которым проходит один и тот же ток, образуют ветвь. В частном случае в ветви может быть лишь один элемент. Некоторые ветви (например, АВ, ANMF) содержат как сопротивления r, так и э.д.с. Е. Другие ветви (например, AD, DC, BC) имеют только сопротивления r.

Место соединения трех или более ветвей называют узловой точкой, или узлом. Так, например, в узловой точке А сходятся три ветви: АВ, А D и ANMF.

Ряд ветвей, образующих замкнутую электрическую цепь, называют контуром (например, ABDA, ADFMNA).

К узловым точкам схемы применим первый закон Кирхгофа, а к контурам — второй закон Кирхгофа.

Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов, притекающих к любой точке разветвления (узловой точке), равна сумме токов, уходящих от нее. Если токи, притекающие к точке разветвления, считать положительными, а уходящие от нее, — отрицательными, то первый закон Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма токов в узловой точке равна нулю:

S I = 0 (1.10)

В качестве примера напишем уравнение первого закона Кирхгофа для узловой точки А электрической схемы, представленной на рис. 1.6:

I ₇ + I ₈ = I ₁

I ₇ + I ₈ – I ₁ = 0

Рис. 1.7 Цепь с последовательным соединением сопротивлений

Согласно второму закону Кирхгофа, во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжения на всех сопротивлениях, входящих в этот контур:

S E = S Ir (1.11)

При обходе замкнутого контура по часовой стрелке (или против часовой стрелки) э.д.с. и токи, направления которых совпадают с принятым направлением обхода, следует считать положительными, а э.д.с. и токи, направленные встречно, — отрицательными.

Для примера рассмотрим замкнутый контур ADFMNA (рис. 1.6). При указанных на рисунке направлениях токов и э.д.с. и принятом обходе этого контура по часовой стрелке уравнение второго закона Кирхгофа принимает следующий вид:

-E₅ + E₄ + E₃ = -I₇ r₁₁ – I₆ r₅ + I₈ (r₁₃ + r₄ + r₃ +r₁₂)

В некоторых расчетах оказывается более удобным пользоваться уравнением второго закона Кирхгофа, записанным как

S E = S U + S Ir (1.12)

Здесь часть слагаемых Ir, относящаяся к определенным участкам контура, заменена напряжениями U на этих участках.

Цепи с последовательным соединением. Если электрическая цепь состоит из нескольких последовательно соединенных участков с сопротивлениями r₁, r₂, r₃, r₄ (рис. 1.7), то через все участки протекает один и тот же ток I.

При отсутствии на участках цепи собственных э.д.с. общее напряжение U, приложенное к зажимам всей цепи, равно сумме падений напряжения на отдельных элементах цепи (второй закон Кирхгофа):

U = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ (1.13)

или

U = I r₁ + I r₂ + I r₃ + I r₄ = I (r₁ + r₂ + r₃ + r₄) (1.14)

Из этого выражения следует, что общее сопротивление r равно сумме сопротивлений всех последовательно соединенных элементов цепи, а напряжения между элементами распределяются прямо пропорционально их сопротивлениям.

Если уравнение (1.14) умножить на I, то получим

U = I² r₁ + I² r₂ + I² r₃ + I² r₄ (1.15)

или

P = P ₁ + P ₂ + P ₃ + P ₄ (1.16)

т. е. общая мощность Р, потребляемая цепью, равна сумме мощностей, потребляемых отдельными ее элементами.

Рис. 1.8 Разветвленная цепь постоянного тока

Цепи с параллельным соединением. При параллельном соединении электроприемников (рис. 1.8) все они находятся под одинаковым напряжением U.

Обозначим сопротивления отдельных электроприемников через r₁, r₂, r₃, их проводимости - соответственно через g₁, g₂, g₃, а токи—через I₁, I₂, I₃.

Общий ток I в неразветвленной части цепи равен сумме токов, потребляемых отдельными электроприемниками:

(1.17)

или

I = U g₁ + U g₂ + U g₃ = U (g₁ + g₂ + g₃) = U g _э (1.18)

Эквивалентная проводимость разветвленной цепи равна сумме проводимостей отдельных ее ветвей:

(1.19)

или

g = g ₁ + g ₂ + g ₃ (1.9а)

В частном случае, когда цепь содержит два параллельно включенных сопротивления r₁ и r₂, эквивалентное сопротивление r_э удобно определять по формуле, вытекающей из выражения (1.19):

(1.20)

Умножив уравнения (1.17) на U, получим

(1.21)

или

P₁ = P₁ + P₂ + P₃ (1.22)

Из изложенного следует что мощность, расходуемая в разветвленной цепи, равна сумме мощностей, потребляемых отдельными приемниками или одним эквивалентным приемником. Проводимость эквивалентного приемника равна сумме проводимостей всех параллельно включенных электроприемников. Токи в этих приемниках так же, как и мощности, распределяются всегда пропорционально проводимостям.

Рис. 1.9 Параллельна работа источника питания

Если электрическая цепь представляет собой сочетание последовательно и параллельно включенных сопротивлений (смешанная схема соединений) и при этом имеет один источник питания (одну э.д.с.), то она рассчитывается в следующем порядке: 1) путем последовательного упрощения схемы находят общее сопротивление цепи; 2) по закону Ома определяют общий ток; 3) находят распределение токов и напряжений в схеме. Методику расчета подобных цепей поясним на числовом примере.

Пример 1.1. Рассмотрим цепь, изображенную на рис 1.10. Исходные данные:

U = 240 В, r₁ = 10 Ом, r₂ = 20 Ом, r₃ = 60 Ом, r₄ = 9 Ом, r₅ = 30 Ом, r₆ = 4 Ом, r₇ = 2 Ом.

Найти распределение токов в схеме.

Решение. Определяем эквивалентное сопротивление между точками А В:

Рис. 1.10. Смешанная цепь постоянного тока

Складывая последовательно соединенные сопротивления r_АВ и r₄, получаем сопротивление

r ¢ = r_AB + r₄ = 6 + 9 = 15 Ом

Сопротивление r' в свою очередь оказывается соединенным параллельно сопротивлением r₅:

Общее сопротивление цепи

R = r ₆ + r_CD + r ₇ = 4 + 10 + 2 = 16 Ом

Общий ток

Напряжение между точками С и D

U_CD = I r_CD = 15 × 10 = 150 B

Токи в сопротивлениях r' и r₅:

Напряжение между точками А и В

U_AB = I₄ r_AB = 10 × 6 = 60 B.

Токи в сопротивлениях r₁, r₂ и r₃:

Пример 1.2. Найти токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 1.12,а. Исходные данные: Е₁=72 в, Е₂ = 48 в, r₁ = 3 ом, r₂-4 ом, r₃ = 6 ом, r₄ = 1О ом, r₅= 15 ом.

Рис. 1.12. Расчетные схемы к примеру 1.4:

а—исходная; б—упрощенная

Решение. Предварительно упрощаем схему и находим эквивалентное сопротивление, заменяющее сопротивления: r₃, r₄, r₅:

На упрощенной схеме (рис. 12. б) наносим заданные положительные направления э.д.с., E₁ и Е₂ и произвольно намечаем направления неизвестных токов I₁ I₂ и I₃ . Применяя к этой схеме законы Кирхгофа, составляем три уравнения:

I₁ + I₂ = I₃ E₁ – E₂ = I₁ r₁ – I₂ r₂ E₁ = I₁ r₁ + I₃ r₃

I₁ + I₂ = I₃ 72 – 48 = 3 I₁ – 4I₂ 72 = 3I₁ + 12 I₃

Решая эту систему уравнений, находим:

I ₁ = 6 A ; I ₂ = -1,5 A ; I ₃ = 4,5 a

Полученный отрицательный знак у величины тока I₂ означает, что в действительности этот ток направлен в противоположную сторону. Ток I₃ распределяется между параллельными ветвями r₄ и r₅ обратно пропорционально этим сопротивлениям.

Метод контурных токов. При расчете сложных цепей с большим числом узловых точек предпочтителен метод контурных токов, который позволяет освободиться от составления уравнений по первому закону Кирхгофа и тем самым значительно сократить общее число совместно решаемых уравнений.

Сущность этого метода поясним на рис. 1.13, на котором представлена сложная цепь с узловыми точками А, В, С, D. Заданную схему разбиваем на три смежных контура /, //, /// с произвольно выбранными направлениями токов. Если считать, что в каждом из этих контуров протекает свой контурный ток (I_I, I_II, I_III), то в ветвях, являющихся общими для двух смежных контуров, протекающие токи равны алгебраической сумме двух контурных токов (в ветви АВ протечет ток I₂ = I_II - I_I, в ветви ВС - ток I₅ = I_I - I_III и в ветви DB - ток I₄ = I_II - I_III).

Применяя к отдельным контурам второй закон Кирхгофа, получим систему с числом уравнений, равным числу контурных токов:

E₁ + E₂ = I₁ (r₁ + r₂) + (I_I – I_II) + (I_I – I_III) r₄

E₃ - E₂ = I_II (r₅ + r₆) + (I_II – I_III) r₇+ (I_II – I_I) r₃

E₄ – E₁ – E₃= I_III r₃ + (I_III – I_I) r₄+ (I_III – I_II) r₇

Эти уравнения можно представить в виде, более удобном для их совместного решения:

E₁ + E₂ = I₁ (r₁ + r₂ + r₃ + r₄) – I_II r₃ – I_III r₄

E₃ - E₂ = I_II (r₅ + r₆ + r₇ + r₃) – I_I r₃ – I_III – r₇(1.23)

E₄ – E₁ – E₃= I_III (r₄ + r₇ + r₈) - I_Ir₄ – I_II r₇

Определив контурные токи I_I, I_II, I_III, нетрудно найти токи в смежных ветвях АВ, ВС и DB.

Пример 1.3. Найти токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 1.13. Исходные данные: Е₁ = 10 В, Е₂ = 10 В, Е₃= 11О В, Е₄ = 120 B, r₁ = 5 Ом,. r₂ = 3 Ом, r₃ = 8 Ом, r₄ = 4 Ом, r₅ = 3 Ом, r₆ = 4 Ом, r₇ = 5 Ом, r₈ = 6 Ом.

Рис. 1.13. Схема цепи к расчету методом контурных токов

Решение. Подставив в уравнения (1.13) известные значения э.д.с. и сопротивлений цепи и решая совместно эти уравнения, находим

I_I = 5A, I_II = 8A, I_III = 4A

Значения действительных токов в рассматриваемой цепи:

I_I = I_I = 5A, I₂ = I_II – I_I = 8 – 5 = 3A, I₃ = I_II = 8a

I₄ = I_II – I_III = 8 – 4 = 4A, I₅ = I_I – I_III = 5 – 4 = 1a, I₆ = I_III = 4A

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 339; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!